https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/ 2026-05-06T07:19:55+00:00 https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/ https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/lib/tpl/bootstrap3/images/favicon.ico text/html 2022-07-12T13:31:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:almostsmoothcasoparcial&rev=1657643492&do=diff Definições Uma árvore é dita de Aronszajn se ela * Possuir altura não enumerável * Não possuir ramos não enumeráveis * Não possuir níveis não enumeráveis Tal árvore é dita especial se * Existe uma função $f$ da árvore para os racionais que preserva a ordem, ou seja, se $x<y \iff f(x)< f(y)$$\mathcal{K}$$\omega_1$$\omega_1$$\mathcal{I}(G)$$G \in \mathcal{K}$$\omega_1$$|\mathcal{I}(G)|= 2^{\omega_1}$$G \in \mathcal{K}$$\aleph_{\alpha+1} = 2^{\aleph_\alpha}$$v \in \omega_1$$\gamma_v \… text/html 2021-04-28T13:39:13+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:baselespm&rev=1619627953&do=diff Todo espaço métrico possui base local enumerável Sejam $(X,d)$ um espaço métrico, $x \in X$ e $A$ um aberto tal que $x \in A$. Sendo assim, existe $r>0$ tal que $B_r(x) \subset A$. Tomando $\frac{1}{n}<r$, então $x \in B_{\frac{1}{n}}(x) \subset B_r(x)$ e portanto $\lbrace B_{\frac{1}{n}}(x):n \in \mathbb{N}_{>0} \rbrace$ é uma base local para $x$. text/html 2021-05-01T09:22:14+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:equiv&rev=1619871734&do=diff Proposição. Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $x \in X$. Então, são equivalentes: * $x$ admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável; * $x$ admite uma base local enumerável. Demonstração: Suponhamos que $x$ admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$$n \in \mathbb{N}$$U_n \subset V_n$$U_n$$x \in U_n$$(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$$x$$U$$x \in U$$N \in \mathbb{N}$$x \in V_N \subset U$$x \in U_N \subset V_N \subset U$$(U_n)_{n \in \mathbb{N… text/html 2021-07-24T17:30:23+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:f-u_seq&rev=1627158623&do=diff Todo espaço Frechét-Urysson é sequencial. Seja $F \subset X$ um não-fechado qualquer (ou seja, $F \neq \overline{F}$). Tomemos $x \in \overline{F} \setminus F$. Posto que o espaço é Frechét-Urysson, existe $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $F$ tal que $x_n \to x$. text/html 2021-07-28T20:31:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:inc_seq&rev=1627515071&do=diff $\tau \subset \rho$ Definimos $\mathcal{F}$ pensando em continuidade sobre $\tau$. Pensando na definição de topologia forte, deve valer $\tau \subset \rho$, pois $\rho$ é a maior topologia que faz as $f \in \mathcal{F}$ serem contínuas. $\tau \supset \rho \Leftrightarrow (X, \tau)$ é sequencial Assumamos $\tau = \rho$$N$$X$$f(n) \to f(\infty)$$F \subset X$$F$$x$$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$$F$$x_n = f(n)$$n \in \mathbb{N}$$f(\infty) = x$$F$$(X, \tau)$$F \subset X$$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}… text/html 2022-07-11T16:15:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:lema1almistsmoothgrahs&rev=1657566943&do=diff Tomemos $B \in [\omega_1 \setminus A]^{\omega_1}$ tal que $G(x) \cap A \neq G(y) \cap A$ para $x,y \in B$ e $x \neq y$ Para $F \in [B]^{\omega_1}$, tome $G_F = G[A\cup F]$, se $\mathcal{I}(G) < 2^{\omega_1}$ então existe $G'$ de tamanho $\omega_1$ e $\mathcal{F} \subset [B]^{\omega_1}$ de tamanho $(2^\omega)^+$, de maneira que $G' \simeq G_F$ para $F \in \mathcal{F}$ Portanto existe $F_0 \neq F_1 \in \mathcal{F}$ e um isomorfismo $\pi$ entre $G_{F_0}$ e $G_{F_1}$ tal que $\pi\lceil A = id$, as… text/html 2022-07-11T16:17:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:lema2almistsmoothgrahs&rev=1657567061&do=diff Pela construção de $\mathcal{T}^G$, se $u,v \in \omega_1$, $v<u$ e $G(v)\cap v = G(u) \cap v$, então $v \prec^G u$. Assim os níveis de $\mathcal{T}^G$ são enumeráveis pelo lema anterior. E $\mathcal{T}^G$ não contém ramos de tamanho $\omega_1$, pois os ramos são conjuntos dois a dois comparáveis e $G$ é não trivial. text/html 2021-05-05T18:39:36+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:metricohausdorff&rev=1620250776&do=diff Todo espaço métrico é de Hausdorff (com a topologia induzida pela métrica). ---------- Demonstração: Basta mostrar que, dados $x, y \in X$, existem bolas abertas disjuntas centradas em $x$ e $y$ para um espaço métrico $(X, d)$ qualquer. Tomemos as bolas $B_{\delta}(x)$ e $B_{\delta}(y)$ com $\delta = \frac{1}{2} d(x, y)$. Suponhamos que exista um $z \in B_{\delta}(x) \cap B_{\delta}(y)$$d(x, z) < \delta$$d(y, z) < \delta$$d(x, z) + d(z, y) < 2 \delta = d(x, y)$ text/html 2021-04-30T19:41:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:seq1&rev=1619822470&do=diff A sequência $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge para $0$ em $\mathbb{R}$ Com efeito, seja $U$ um aberto em $\mathbb{R}$ tal que $0 \in U$. Então, existe $r>0$ tal que $(-r,r) \subset U$. Tomando $n_0 \in \mathbb{N} $ tal que $\frac{1}{n_0} < r$, então temos que $n_0$ é tal que $n \geq n_0$ implica que $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0}$ e $ x_n = \frac{1}{n} \in (-r,r) \subset U$. text/html 2021-04-21T16:18:29+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solacircaberto&rev=1619032709&do=diff $A^\circ = A \implies A$ é aberto: * Trivial, pois $A^\circ$ é aberto. $A$ é aberto $\implies A^\circ = A$: * Pela definição de interior temos que $A^\circ = \bigcup_{V \in \mathcal{V}}V$, onde $\mathcal{V} = \{V \subset X : V$ é aberto e $V \subset A\}$, já que $A$ é aberto, temos que $A \in \mathcal{V}$ e portanto $\bigcup_{V \in \mathcal{V}}V = A$, o que implica que $A^\circ=A$. $\square$ text/html 2021-04-21T16:20:34+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solacirccrica&rev=1619032834&do=diff Sabemos que $A^\circ$ é aberto, portanto é só usarmos o item anterior e teremos o resultado. $\square$ text/html 2021-04-22T18:11:04+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solafechauniparta&rev=1619125864&do=diff $A \cup \partial A \subset \overline{A}$: * $A \subset \overline{A}$, e para todo $x \in \partial A$, $x$ é ponto aderente, portanto $x \in \overline{A}$. $\overline{A} \subset A\cup \partial A$: * Sabemos pelo primeiro item que $\partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$, assim tome $x \in \overline{A}$, $x$ é ponto aderente de $A$, se $x \in A$ acabamos, se $x \notin A \implies x \in X\setminus A$, portanto para todo aberto $V$ temos que $V \cap A \neq \emptyset$ e $x \in X… text/html 2021-04-21T15:31:16+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:sola_afechado&rev=1619029876&do=diff $\overline{A}=A \implies A$ é fechado: * Trivial, pois $\overline{A}$ é fechado. $A$ é fechado $\implies \overline{A}=A$: * Pela definição de fecho temos que $\overline{A} = \bigcap_{F \in \mathcal{F}}F$, onde $\mathcal{F} = \{F \subset X : F$ é fechado e $A \subset F\}$, já que $A$ é fechado, temos que $A \in \mathcal{F}$ e portanto $\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F = A$, o que implica que $\overline{A}=A$. $\square$ text/html 2021-07-12T16:18:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solcurioptoacu&rev=1626117512&do=diff $X$ é um conjunto fechado se, e somente se, $X' \subset X$ Vamos supor $X$ um conjunto fechado: * Suponhamos que exista $x$ tal que $x \in X'$ e $x \notin X$, com isso $x$ é ponto de acumulação de $X$ e $x \in \overline{X \setminus x} = \overline{X}=X$, um absurdo, portanto para todo $x \in X'$, temos que $x \in X$. Vamos supor que $X' \subset X$: * Para todo $x \in X'$$x \in \overline{X \setminus x} = \overline{X}$$x$$X$$y \in \overline{X}$$y \notin X$$V$$y \in V$$V \cap X \neq \emptyse… text/html 2021-07-26T09:37:21+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solequi1valoformul&rev=1627303041&do=diff Vamos realizar uma indução, suponha todos os 3 nos casos triviais e assim iremos mostrar $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a = c ]\!]$, os outros dois são análogos: * Vamos primeiramente mostrar que $[\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a \subset c ]\!]$ * $$\begin{array}{ll} [\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(a(t)\rightarrow [\![ t \in b ]\!]))[\![ b = c ]\!] \\ &= \displaystyle(\inf… text/html 2021-08-23T11:06:34+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solinf3&rev=1629727594&do=diff $$ \begin{array}{ll} |\exists y \in \dot{x} \varphi(y)| &= \sup_{t}|t \in \dot{x} \wedge \varphi(t)| \\ \\ &= \sup_t |\varphi(t)||t \in \dot{x}| \\ \\ &= \sup_t |\varphi(t)|(\sup_{y \in dom(\dot{x})}|y=t|\dot{x}(y)) \\ \\ &= \sup_t \sup_{y \in dom(\dot{x})}|\varphi(t)||y=t|\dot{x}(y) \\ \\ &= \sup_{y \in dom(\dot{x})} \sup_t (|\varphi(t)\wedge y=t|)\cdot \dot{x}(y) \\ \\ &= \sup_{y \in dom(\dot{x})} \dot{x}(y)|\varph… text/html 2021-08-23T11:06:08+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solinf4&rev=1629727568&do=diff $$ \begin{array}{ll} |\forall y \in \dot{x} \varphi(y)| &= \inf_{t}|t \in \dot{x} \Longrightarrow \varphi(t)| \\ \\ &=\inf_{t}(-|t \in \dot{x}|+|\varphi(t)|) \\ \\ &=\inf_{t}(|\varphi(t)|-\sup_{y \in \text{dom}(\dot{x})}|t=y|\dot{x}(y)) \\ \\ &=\inf_{t}(|\varphi(t)|+\inf_{y \in \text{dom}(\dot{x})}(-|t=y|-\dot{x}(y))) \\ \\ &=\inf_{t}\inf_{y \in \text{dom}(\dot{x})}(|\varphi(t)|-|t=y|-\dot{x}(y)) \\ \\ &=\inf_{y \in \text{dom}(\dot{x})}\inf_{t}(-\dot{x}(y)-|t=y|+|\varphi(t)|) \end{array} $$ $\sq… text/html 2021-04-22T18:21:46+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solintcupart&rev=1619126506&do=diff Pelo item acima $\partial A = \overline{A} \setminus A^\circ$, assim $A^\circ \cap \overline{A} \setminus A^\circ = \emptyset$. $\square$ text/html 2021-04-23T18:39:37+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solintsubset&rev=1619213977&do=diff $A \subset B \implies A^\circ \subset B$ já que $A^\circ \subset A$, vamos supor que existe $V$ aberto $\subset A^\circ$ tal que $V \nsubseteq B^\circ$, assim $V \in \mathcal{V}=\{ V \subset X : V$ é aberto e $V \subset A \}$, portanto $V \subset B$ e sendo V aberto, temos que $V \subset B^\circ$, o que configura uma contradição, portanto $A^\circ \subset B^\circ$. $\square$ text/html 2021-04-22T21:48:28+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solpartafecaint&rev=1619138908&do=diff Pelo item anterior $\overline{A} = A \cup \partial A$, assim : $A \cup \partial A \setminus A^\circ = (A \setminus A^\circ)\cup(\partial \setminus A^\circ)$, sabemos que $A \setminus A^\circ$ é igual a $\emptyset$ ou igual a $\partial A$ e que $\partial A \cap A^\circ = \emptyset$, portanto $\partial A \setminus A^\circ = \partial A$, assim temo dois casos: * $\emptyset \cup \partial A = \partial A$ * $\partial A \cup \partial A = \partial A$ $\square$ text/html 2021-08-23T11:30:26+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solpartespart1&rev=1629729026&do=diff $|\alpha \subset z| = \inf_{\beta \in dom(\alpha)}(\alpha(\beta) \implies |\beta \in z|) = \inf_{\beta \in dom(\alpha)}( |\beta \in z| \implies |\beta \in z|) = 1 $ * Vamos tomar agora uma nome $\beta$ qualquer: $$ \begin{array}{ll} |\beta \in \dot{x}(t) \wedge \beta \in z| &= \sup_t \dot{x}(t)|t=\beta||\beta \in z| \\ \\ &= \sup_t \dot{x}(t)|t=\beta||\beta \in z||t=\beta| \\ \\ &\leq \sup_t \dot{x}(t)|\beta \in z||t=\be… text/html 2021-08-23T11:32:48+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solpartespart2&rev=1629729168&do=diff $$ \begin{array}{ll} |z \subset \dot{x}|&= |z \subset \dot{x}||z=\alpha| \\ \\ &= \dot{y}(z)|z=\alpha| \\ \\ & \leq |z=\alpha||z \in \dot{y}| \\ \\ & \leq |\alpha \in \dot{y}| \end{array} $$ Sendo isso $|z\subset \dot{x} \Longrightarrow \alpha \in \dot{y}|=1 $ $\square$ text/html 2021-04-22T14:09:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solpartuni&rev=1619111382&do=diff $\partial A \subset \overline{A}\cap \overline{X\setminus A}$: * Tome $x \in \partial A \implies x \in A$ ou $x \in X\setminus A \implies x \in \overline{A}$ e $x \in \overline{X\setminus A}$, pois $x$ é ponto aderente de $\overline{A}$ e de $\overline{x\setminus A}$. $\overline{A}\cap\overline{X\subset A} \subset \partial A$: * Tome $x \in \overline{A}\cap\overline{X\subset A}$, pela definição de fecho, $x$ é ponto aderente de $\overline{A}$ e de $\overline{X\setminus A}$, para todo aber… text/html 2021-07-11T15:18:58+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solprop1ptoacumulu&rev=1626027538&do=diff Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico \(T_1\), então $x \in X$ é um ponto de acumulação de $A \subset X$ se, e somente se, para todo $V$ aberto tal que $x \in V$ temos que $V \cap A$ é infinito * Seja V um aberto de tal que $x \in V$, suponha que $V\cap A$ finito, sendo $A \subset X$$V' = V \setminus(A\setminus \{x\})$$x \in V'$$V'\cap A \subset \{x\}$$x$$V$$x \in V$$V \cap A$$V \cap(A \setminus \{x\})\neq \emptyset$$x$$A$ text/html 2021-07-12T11:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solprop1valoformul&rev=1626098711&do=diff Sejam $\varphi$ e $\psi$ fórmulas, então $[\![ \varphi\implies \psi ]\!] = 1$, se, e somente se, $[\![ \varphi ]\!] \leq [\![ \psi ]\!]$ Vamos supor que $[\![ \varphi\implies \psi ]\!] = 1$: * Como $\varphi \implies \psi = \neg \varphi \vee \psi$, temos então que : $$1 = [\![\varphi \implies \psi]\!]=[\![\neg \varphi \vee \psi]\!] = -[\![\varphi]\!] + [\![\psi]\!]$$ * Assim através das operações de uma Álgebra de Boole temos $[\![\varphi]\!]\leq [\![\psi]\!]$ Vamos supor que $[\![\varp… text/html 2021-07-11T18:10:09+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solprop2ptoacumulu&rev=1626037809&do=diff Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico compacto, então todo subconjunto infinito admite ponto de acumulação * Tomemos $A \subset X$ infinito, vamos supor que todo $x \in X$ não é ponto de acumulação em $A$, portanto para todo $x \in X$, existe $V_x$ aberto tal que $x \in V_x$ e $V_x \cap A \subset \{x\}$, notemos então que tais $V_x$$X$$X$$x_1,x_2,\ldots,x_n \in X$$X \subset \bigcup^n_{i=1} V_x$$A \subset X$$A \subset \cup^n_{i=1} V_x$$A \subset \{x_1,\ldots,x_n\}$$A$ text/html 2021-07-11T18:10:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solprop3ptoacumulu&rev=1626037841&do=diff Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico compacto, então todo subconjunto infinito de $X$ admite um ponto de acumulação completo * Seja $A \subset X$ infinito, vamos então supor que $A$ não possui ponto de acumulação completo, então para todo $x \in X$, existe $V_x$ aberto tal que $x \in V_x$$|V_x \cap A|<|A|$$X$$x_1, \dots ,x_n \in X$$\bigcup^n_{i=1} V_{x_i} = X $$A = (V_{x_1}\cap A)\cup(V_{x_2}\cap A)\cup \dots \cup (V_{x_n}\cap A)$$|V_{x_i} \cap A|<|A|$ text/html 2021-07-11T18:09:35+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solprop4ptoacumulu&rev=1626037775&do=diff Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico tal que todo subconjunto infinito admite ponto de acumulação completo, então $X$ é compacto * Vamos supor que $\mathcal{C}$ seja uma cobertura por abertos sem subcobertura finita, assim tomemos também $\mathcal{C}$ com a menor cardinalidade possível, sem perda de generalidade, e seja $\leq$$\mathcal{C}$$C \in \mathcal{C}$$x_c \in (X \setminus \bigcup_{D \leq C} D)$$|\{D \in \mathcal{C} : D < C\}|<|\mathcal{C}|$$\bigcup_{D < C} D \neq X$$x_c$$A = \{x_c : C … text/html 2021-04-21T15:19:01+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solptoaderente&rev=1619029141&do=diff Chame $D$ o conjunto dos pontos aderentes de $A$. Vamos provar que $\overline{A} \subset D$: * Seja $V$ aberto tal que $x \in V$ e suponha $V\cap A = \emptyset$, logo $A \subset X \setminus V$ que é fechado, assim, pela definição de $\overline{A}$, segue que $\overline{A} \subset X \setminus V$, contradição com o fato de que $x \in \overline{A}$ e $x \in V$. Vamos provar que $D \subset \overline{A}$: * Seja $x \in D$ e suponha $x \notin \overline{A}$, logo, $x \in X \setminus \overline{A… text/html 2021-04-21T15:23:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solptoaderenteasubb&rev=1619029420&do=diff Tomemos $x \in \overline{A}$, assim $V \cap A \neq \emptyset$, para todo aberto $V$ tal que $x \in V$, assim, já que $A \subset B$ segue diretamente que $V \cap B \neq \emptyset$ e portanto $\overline{A} \subset \overline{B}$ $\square$ text/html 2021-04-21T15:32:51+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solptoaderentea_a&rev=1619029971&do=diff Sabemos que $\overline{A}$ é fechado, portanto é só usarmos o item anterior e teremos o resultado. $\square$ text/html 2021-08-24T08:13:56+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solseppart1&rev=1629803636&do=diff $$ \begin{array}{ll} |\forall y (y \in \dot{v} \Longrightarrow y \in \dot{x} \wedge \psi(y))|&= inf_{t \in dom(y)}(|y \in \dot{x}\wedge \varphi(y)| - |y \in \dot{v}|) \\ \\ &= \inf_{t \in dom(y)}(|y \in \dot{x}||\varphi(y)| - |y \in \dot{v}|) \\ \\ &= \inf_t (\sup_k \dot{x}(k)\cdot |y=k| \cdot |\varphi(y)| - \sup_g \dot{v}(g)\cdot |y=g|) \\ \\ &\geq \inf_t \sup_k |y=k|\cdot(\dot{x}(k)|\varphi(y)| - \dot… text/html 2021-08-24T08:14:17+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solseppart2&rev=1629803657&do=diff $$ \begin{array}{ll} |\forall y (y \in \dot{x} \wedge \psi(y) \Longrightarrow y \in \dot{v})| &= \inf_t (|y \in \dot{v}| - |y \in \dot{x}||\varphi(y)|) \\ \\ &= \inf_t (\sup_{k \in dom(\dot{v})} \dot{v}(k)|y=k| - \sup_{g \in dom(\dot{v})} \dot{x}(g)|y=g||\varphi(y)|) \\ \\ &\geq \inf_t \sup_{k \in dom(\dot{v})} |y=k|\cdot (\dot{v}(k) - \dot{x}(k)|\varphi(k)|) \\ \\ &= \inf_t \sup_{k \in dom(\dot{v})} |y=… text/html 2021-08-23T11:37:33+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solsup1&rev=1629729453&do=diff Vamos realizar esta demonstração através da indução na complexidade das fórmulas: * Vamos começar com as fórmulas atômicas $F_0$: * Temos três casos, $\in, \subset$ e =, vamos fazer um deles e o restante é semelhante * Tome $\varphi(x)= x \in y$, para algum $y$ fixado * $$|b \in y||b=a|\leq|a \in y|$$$|\varphi(b)||a=b|\leq|\varphi(a)|$$F_n$$F_{n+1}$$\varphi \in {F_{n+1}}$$\varphi = \phi \vee \psi$$\phi,\psi \in F_n$$$|\phi(b)||b=a|\leq|\phi(a)| \text{ e } |\psi(b)||b=a|\leq|… text/html 2021-08-23T11:38:18+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:solsup2&rev=1629729498&do=diff Pelo item anterior temos que $|a=c||\varphi(c)|\leq |\varphi(a)|$: * Assim pela própria definição de supremo temos que $\sup_c |a=c||\varphi(c)| \leq |\varphi(a)|$ * Sabemos que $|\varphi(a)|=|a=a||\varphi(a)|$ e por consequência, $|a=a||\varphi(a)| \leq \sup_c|a=c||\varphi(c)|$, assim $|\varphi(a)|\leq \sup_c|a=c||\varphi(c)|$ Dessa maneira, juntando os dois resultados temos: $$\sup_c |a=c\wedge \varphi(c)|=|\varphi(a)| $$ $\square$ text/html 2021-07-26T10:07:58+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:soltipboolealg&rev=1627304878&do=diff Para mostrar iremos usar alguns resultados sobre Álgebra de Boole, mais especificamente os seguintes: * $a \rightarrow b = -a + b$ * $a \leq b$ se $ab=a$ * $a\cdot -a = 0$ * $a +(-a) = 1$ * $a + 1=1$ * Mostrando que $a \implies b= 1 \implies a \leq b:$ * $-a + b = 1 \implies a\cdot(-a+b)=a\cdot1 \rightarrow a\cdot-a + ab = a \rightarrow ab=a \rightarrow a\leq b$ * Mostrando que $a\leq b \implies a\implies b=1:$ * $a\leq b \rightarrow a+b=b \rightarrow -a +a +b = -… text/html 2021-05-05T18:40:15+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:subhausdorff&rev=1620250815&do=diff Todo subespaço de um espaço de Hausdorff é um espaço de Hausdorff. ---------- Demonstração: Seja $(X, \tau)$ de Hausdorff. Tomemos $(Y, \sigma)$ com $Y \subset X$ e $\sigma = \{Y \cap A : A \in \tau\}$. Qualquer $a, b \in Y$ são também pontos de $X$. Então, podemos encontrar abertos disjuntos $A_{a}$ e $A_{b}$ tais que $a \in A_{a}$, e $b \in A_{b}$. Basta, agora, tomarmos $A'_{a} = Y \cap A_{a}$$A'_{b} = Y \cap A_{b}$ text/html 2021-05-05T18:36:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:t1eht2&rev=1620250603&do=diff Todo espaço de Hausdorff é $T_1$. ---------- Demonstração: Seja $(X, \tau)$ um espaço $T_2$. Para quaisquer $x, y \in X$, temos abertos $A$ e $B$ disjuntos tais que $x \in A$ e $y \in B$ . Além disso, $A \cap B = \emptyset$. Então, de imediato, $y \notin A$. text/html 2022-07-11T16:19:06+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solucao:teo1almistsmoothgrahs&rev=1657567146&do=diff A solução pode ser encontrada no seguinte artigo <https://shelah.logic.at/files/95718/65.pdf> .