https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/ 2026-05-17T16:48:00+00:00 https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/ https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/lib/tpl/bootstrap3/images/favicon.ico text/html 2021-05-06T21:46:12+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solu:carac1&rev=1620348372&do=diff Uma função é contínua se, e somente se, for contínua em todos os pontos. Suponha $f$ contínua e $x\in X$. Seja $A$ vizinhança de $f(x)$, então existe $A'$ aberto tal que $f(x)\in A'\subset A$. Assim, por hipótese $f^{-1}[A']$ é aberto, com $x\in f^{-1}[A']=W$ então $f[W]\subset A'\subset A$. Agora, suponha que para todo $x\in X$, $f$ é contínua em $x$$A$$Y$$x\in X$$f(x)\in A$$B_x$$x$$f[B_x]\subset A$$B_x$$B'_x$$x\in B_x'\subset B_x$$f^{-1}[A]=\cup_{x\in f^{-1}[A]}B'_x$ text/html 2021-05-06T22:57:06+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solu:carac2&rev=1620352626&do=diff Cualquer função constante é contínua. Sejam $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ e considere uma função constante $f:X\rightarrow Y$ dada por $f(x)=k$ para todo $x\in X$. Seja $A$ um aberto de $(Y,\sigma)$. Então, $f^{-1}[A]=X$ se $k\in A$, o $f^{-1}[A]=\emptyset$ se $k\notin A$. Então, em ambos os casos $f^{-1}[A]$ é aberto de $(X,\tau)$. text/html 2021-05-06T23:01:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solu:carac3&rev=1620352870&do=diff Composição de funções contínuas é contínua Seja $A$ um aberto em $X_3$. Como $f$ é continua, temos que $f^{-1}[A]$ é aberto en $X_2$. Agora, como $g$ é contínua, $g^{-1}[f^{-1}[A]]$ é aberto em $X_1$, como $g^{-1}[f^{-1}[A]]=(f\circ g)^{-1}[A]$, então a proposição está provada. text/html 2021-05-07T00:30:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=solu:carac4&rev=1620358244&do=diff Função característica é contínua Isto é, que a função $\mathcal{X}_A:X\rightarrow \{0,1\}$ dada por $$ \mathcal{X}_A(x)\left\{ \begin{array}{cl} 1 &\mbox{se } \in A \\ 0 &\mbox{caso contrario } \end{array}\right. $$ é contínua. De fato, vamos considerar em $\{0,1\}$ com a topologia discreta. Então, seja $V$ qualquer aberto, isto é, $V=\{0\}$, $V=\{1\}$,$V=\emptyset$ o $V=\{0,1\}$. Se $V=\{0\}$, então $\mathcal{X}^{-1}_A[V]=A^{c}$ é aberto, se $V=\{1\}$, então $\mathcal{X}^{-1}_A[V]=A$ é ab…