WikiMat forcing

forcing:aumenuniexp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-10T15:32:30+00:00

Expandindo o universo Vamos agora associar agora fórmulas relacionadas a uma álgebra de Boole qualquer $\mathcal{A}$ a álgebra de Boole trivial $\{0,1\}$ Fixando então $\varphi(v_1,\dots,v_n)$ e sejam $x_1,\dots,x_n$ conjuntos, então vamos mostrar que $\varphi(x_1,\dots,x_n) \iff [\![ \varphi(\check{x_{1}},\dots,\check{x_{n}}) ]\!]_{2} =1$ Solução Nomenclaturas * $\exists x \in t\phi$ é uma abreviação de $\exists x$ $x \in t\wedge \phi$ * $\forall x \in t\phi$$\forall x( x\in t \rightarr…

forcing:aumenuniini

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T16:07:33+00:00

Resultados iniciais Seja $x$ um conjunto. Definimos o nome $\check{x}$ da seguinte forma: $$ \check{x} = \{(\check{y},1) : y \in x\} $$ Observe que: * $\check{\emptyset}=\emptyset$; * Se $x \in y$, então $\check{x} \in \text{dom}(\check{y})$. * Se $t \in dom(\check{y})$, então $t = \check{a}$ para algum $a \in y$. Vamos mostrar agora alguns resultados nomes: * Se $x \in y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 1$. Solução * Se $x \notin y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y…

forcing:expuniverso

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-16T10:33:39+00:00

Aumentando o universo * Resultados iniciais * Expandindo o universo * Passando por filtros

forcing:filtrosaumenuniver

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-18T16:00:41+00:00

Passando por filtros Chamamos de $\dot{G}$ o $$ \dot{G} = \{(\check{a},a) : a \in \mathcal{A}\} $$ onde $\mathcal{A}$ é nossa álgebra de Boole completa fixada. Com isso podemos perceber que $[\![ \check{a} \in \dot{G} ]\!]= a$, pois: $$[\![ \check{a} \in \dot{G} ]\!]= \sup_{t \in dom(\dot{G})} \dot{G}(t)[\![ \check{a} \in t ]\!]$$ pela própria definição, $\dot{G}(\check{a}) = a$, como queríamos. Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $F \subset P$ é um filtro se $F \neq \emptyset$ e: …

forcing:forcing

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-18T16:03:40+00:00

Forcing * Valoração de fórmulas * Expandindo o universo * Axioma da separação e axioma das partes

forcing:nomes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T14:39:37+00:00

Nomes Vamos definir de maneira recursiva: * $V_0^B = \emptyset$ * $V_{\alpha + 1}^B = \{\sigma| \sigma$ é uma função tal que dom$\sigma \subset V_\alpha^B$ e imagem em $B\}$ * $V_\alpha^B = \bigcup_{\beta < \alpha}V_\beta^B$ se $\alpha$ é limite. Chamamos de nome cada elemento de algum $V_\alpha^B$. Desta maneira $\{(\emptyset,1)\}$ é um nome, pois temos que $\emptyset \in V_0^B$, assim existe uma função $\sigma : \{\emptyset\} \rightarrow x$, com $x \in B$, portanto podemos escolher e…

forcing:seppartesaxival

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-23T11:07:42+00:00

Axioma da separação axioma das partes * Alguns resultados * Axioma da separação * Axioma das partes

forcing:seppartesaxivalparte1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-23T11:38:49+00:00

Alguns resultados Proposição Se $a$ e $b$ são nomes e $\varphi$ é uma fórmula então * $[\![ a=b ]\!] [\![ \varphi(b) ]\!] \leq [\![ \varphi(a) ]\!]$. Solução * $\displaystyle \sup_c [\![ a=c \wedge \varphi(c) ]\!] = [\![ \varphi(a) ]\!]$. Solução Para conseguirmos mostrar os próximos resultados vamos fazer algumas definições: * $|\exists y \in \dot{x} \varphi(y)| = \sup_{t}|t \in \dot{x} \wedge \varphi(t)|$ * $|\forall y \in \dot{x} \varphi(y)| = \inf_{t}|t \in \dot{x} \Longrightarrow…

forcing:seppartesaxivalparte2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-23T11:16:27+00:00

Axioma da separação Teorema Se $\varphi$ é o axioma da separação, ou seja, $$\forall x \exists v \forall y (y \in v \Longleftrightarrow y \in x \wedge \psi(y))$$ então $|\varphi|=1$. Vamos fazer essa demonstração em duas partes : * $|\varphi_1|=|\forall y (y \in \dot{v} \Longrightarrow y \in \dot{x} \wedge \psi(y))|= 1$ Solução: * $|\varphi_2|=|\forall y (y \in \dot{x} \wedge \psi(y) \Longrightarrow y \in \dot{v})|= 1$ Solução: * Juntando os últimos tópicos temos que $|\forall x \exis…

forcing:seppartesaxivalparte3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-23T11:24:04+00:00

Axioma das partes Teorema Se $\varphi$ é o axioma das partes, ou seja, $$\forall x \exists y \forall z (z \subset x \Longrightarrow z \in y)$$ então $|\varphi|=1$. Vamos fazer essa demonstração em duas partes : * $|\varphi_3|=|z\subset \dot{x} \Longrightarrow z = \alpha|=1$ Solução: * $|\varphi_4|=|z\subset \dot{x} \Longrightarrow \alpha \in \dot{y}|=1$ Solução: * Juntando os últimos tópicos temos que $|\forall x \exists y \forall z (z \subset x \Longrightarrow z \in y)| = 1$…

forcing:solaleqb1e0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-10T15:43:20+00:00

Se vale $a \leq b$, assim “$a \leq b$” é uma fórmula $\Delta_0$, assim $a\leq b$ sse $[\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]=1$, como queríamos. Se não vale $a \leq b$, assim vale “$\neg a \leq b$” e é uma fórmula $\Delta_0$, assim $\neg a\leq b$ sse $[\![ \neg \check{a} \leq \check{b} ]\!]=1$, com isso $[\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]=0$. $\square$

forcing:solaxiinfini

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-10T15:18:36+00:00

O axioma do infinito é lido como $\exists S \emptyset \in S \wedge (\forall x \in S x\cup\{x\} \in S)$, sendo $\forall x \in S x\cup\{x\} \in S$ uma notação para $\forall x (x \in S \rightarrow x\cup\{x\} \in S)$, com isso vamos aplicar a valoração: $$[\![ \varphi ]\!] = \sup_{\tau \in S} [\![\emptyset \in \tau \wedge (\forall x (x \in \tau \rightarrow x \cup \{x\}\in \tau))]\!]$$ assim, como “$\emptyset \in \phi \wedge (\forall x (x \in \phi \rightarrow x \cup \{x\}\in \phi))$” é uma fórmulas…

forcing:solexpanuni1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-09T15:44:11+00:00

Iremos utilizar uma indução na complexidade, assim o conjunto $F$ dado por todas as fórmulas pode ser escrito da forma $F = \bigcup_{n\in \omega} F_n$, sendo $F_0$ as fórmulas atômicas e $F_{n+1} = F_n \cup \{\neg\varphi : \varphi \in F_n\}\cup\{\varphi \wedge \phi:\varphi,\phi \in F_n\}\cup\{\exists x \varphi : \varphi \in F_n\}$, assim supondo como hipótese de indução a validade para $F_n$, vamos mostrar para $F_{n+1}$, vamos separar por partes:$F_0$$\varphi \in F_0$$\varphi(x) = x \in y$$\var…

forcing:soludensoexpuni

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-16T15:56:21+00:00

Para isso basta mostrar que $[\![ \exists x \,\, x \in \check{D} \wedge x \in \dot{G} ]\!] = 1$: * $[\![ \exists x \,\, x \in \check{D} \wedge x \in \dot{G} ]\!] = \sup_{t} [\![ t \in \check{D} ]\!] [\![ t \in \dot{G} ]\!]$ * Vamos supor que $[\![ \exists x \,\, x \in \check{D} \wedge x \in \dot{G} ]\!] = a$, com $a \neq 1$, assim $-a \neq 0$ e $D \subseteq \mathcal{A}$ é denso, portanto existe $d \in D$ tq $d \leq -a$, assim: $$[\![\check{d} \in \check{D}]\!][\![\check{d} \in \dot{G}]\!] =…

forcing:solufiltroexpuni

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-16T15:29:45+00:00

Vamos mostrar que valem as três propriedades de um filtro e teremos o resultado: * $[\![ \dot{G} \not= \emptyset ]\!]=1$. * Sabemos que $1 \in \mathcal{A}$, assim $(\check{1},1) \in G$, com isso $[\![ \dot{G} = 1]\!]=1$ e portanto $g \not= \emptyset$, como queríamos. * $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \dot{G} \Rightarrow \exists r \in \dot{G} \,\, r \leq p \land r \leq q ]\!]=1$. * Vamos notar que basta mostrar que $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \dot{G}…

forcing:soluprop1uniexp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-19T09:10:54+00:00

$1 = [\![ \check{a}\subseteq\dot{G} ]\!] = \inf_{t \in dom(\check{a})}(\check{a}(t) \rightarrow [\![ t \in \dot{G} ]\!]) = \inf_{t \in dom(\check{a})}[\![ t \in \dot{G} ]\!]$, assim para todo $t \in dom(\check{a})$ temos que $[\![t \in \dot{G} ]\!] = 1$. Fixando $t = \check{y}$ para algum $y \in a$, temos : * $[\![ \check{y} \in \dot{G} ]\!] = sup_{\sigma \in dom(\dot{G})}\dot{G}(\sigma)[\![\check{y}=\check{a}]\!] = sup_{a \in \mathcal{A}}\dot{G}(\check{a})[\![\check{y}=\check{a}]\!] = sup_{a…

forcing:soluprop2uniexp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-16T16:20:05+00:00

$[\![ \dot{G} = \check{x} ]\!] = [\![ \dot{G} \subset \check{x} ]\!][\![\check{x} \subset \dot{G}]\!]$ e temos que $[\![\check{x} \subset \dot{G}]\!] = 1$, pois $\check{x} = \{(\check{1},1)\}$ Assim segue que $[\![ \dot{G} \subset \check{x} ]\!] = 1$: * $1 = [\![ \dot{G} \subset \check{x} ]\!] = \inf_{t \in dom(\dot{G})}(\dot(G)(t) \rightarrow [\![ t = \check{x} ]\!]) = \inf_{a \in \mathcal{A}}(\dot(G)(\check{a}) \rightarrow [\![ \check{a} = \check{x} ]\!]) = \inf_{a \in \mathcal{A}}(a \ri…

forcing:valoracao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T16:15:33+00:00

Valoração de fórmulas * Nomes * Valor Booleano

forcing:valorbooleano

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T08:50:45+00:00

Valor Booleano O objetivo desse processo é calcular o valor de $[\![ \varphi ]\!]$ para tal fórmula $\varphi$ da teoria dos conjunto, esse processo será feito pela indução na complexidade das fórmulas. Outra coisa a se notar é que as fórmulas aqui não falarão mais sobre conjuntos, mas sim sobre nomes para conjuntos.$\varphi$$\psi$$[\![\varphi\implies\psi]\!]$$[\![\varphi]\!] \leq [\![\psi]\!]$$[\![\varphi]\!] = 1$$[\![\psi]\!] = 1$$x, y$$\displaystyle [\![ x \in y ]\!] = \sup_{t \in \text{dom}(…