https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/ 2026-05-15T20:14:35+00:00 https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/ https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/lib/tpl/bootstrap3/images/favicon.ico text/html 2021-07-12T18:09:22+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=exemplo:pentesemzerocobertura&rev=1626124162&do=diff $X$ não é compacto: Como $X$ é um espaço métrico, é suficiente provar que $X$ não é completo. Para isso, basta tomar a sequência $x_n = (\frac{1}{n}, 0)$, esta converge em $\mathbb{R}^2$ para o ponto $(0,0)$, portanto, $x_n$ é de Cauchy. Por outro lado, $x_n$ não converge em $X$, pois $(0,0) \notin X$ (unicidade de limites), então concluímos que $X$ text/html 2021-07-12T17:57:59+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=exemplo:pentesemzeroconex&rev=1626123479&do=diff $X$ é conexo: Com o auxílio da figura, observamos que $A$ e $B$ são conexos por caminhos, portanto, são conexos. Também observamos que todo ponto de $B$ é um ponto de aderência de $A$, assim, $B \subset \overline{A}$, então $A \subset X = A\cup B \subset \overline{A}$, dessa forma, $X$ é conexo. ---------- $X$ não é conexo por caminhos: Suponha por absurdo que $X$$f: [0,1] \to X$$f(0) = (0,1)$$f(1) = (1,1)$$X$$\alpha = \sup\{ x \in [0,1] ~\vert~ f([0,x]) \subset B \}$$\alpha$$f([0,0]) = f(\… text/html 2021-07-12T20:53:30+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=exemplo:pentesemzeroenum&rev=1626134010&do=diff Para ver que $X$ é separável, basta observar que $X \cap \mathbb{Q}^2$ é denso em $X$ e é enumerável. Como $X$ é uma espaço métrico, então $X$ deve possuir base enumerável (ver espaços métricos separáveis). Se possui base enumerável, então possui bases locais enumeráveis (ver bases enumeráveis). text/html 2021-07-12T21:09:19+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/doku.php?id=exemplo:pentesemzerosepar&rev=1626134959&do=diff A demonstração desse fato é trivial, pois $X$ é um espaço métrico e todo espaço métrico é normal (ver espaço normal). Além disso, o fato de ser normal implica em todos os outros axiomas de separação citados (ver $T_0$, $T_1$, $T_2$, espaço regular, espaço normal e espaço completamente regular).