dem:alexeg3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-03T00:20:05+00:00

Exemplo O intervalo $[0,1]$ com a topologia induzida pela métrica euclidiana é compacto. Como os conjuntos da forma $(a,b)\cap [0,1]$ formam uma base para $[0,1]$, então $$\mathcal{B}:=\{[0,b):0

dem:alexlemma1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-03T00:18:39+00:00

Lema (sub-base de Alexander) Seja $(X,\tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ sub-base para $X$. Então $$(X,\tau)\text{ é compacto}\iff \text{toda cobertura }\mathcal{F}\subset \mathcal{B}\text{ de }X\text{ admite subcobertura finita}$$ Demonstração: $(\Rightarrow)$ Trivial, já que $\mathcal{B}\subset \tau$. $(\Leftarrow)$ Suponha, por absurdo, $(X,\tau)$ não compacto e seja $\mathcal{C}$ a coleção de todas as coberturas abertas de $X$ que \textbf{não} admitem subcobertura finita. Dada uma …

dem:caminhoinvariante

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-30T20:45:56+00:00

Proposição: Seja $f:X \rightarrow Y$ contínua e sobrejetora. Se $X$ é conexo por caminhos, então $Y$ também é. Demonstração: Sejam $a,b \in Y$ e $x,y \in X$ tal que $f(x) = a$ e $f(y) = b$. Seja $h:[0,1] \rightarrow X$ contínua tal que $h(0) = x$ e $h(1) = y$, como composição de função contínua é contínua temos que a função $f \circ h :[0,1] \rightarrow Y$ é uma função contínua com $f \circ h(0) = a$ e $f \circ h(1) = b$.

dem:caminhospraconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T21:53:55+00:00

Proposição: Se $X$ é conexo por caminhos então $X$ é conexo. Demonstração: Pela proposição 5.1.11, basta mostrarmos que conseguimos escrever $X$ como união de conjuntos conexos dois a dois não disjuntos. Notemos agora que como $X$ é conexo por caminhos, fixando um $x \in X$$y \in X$$f_{y}: [0,1] \rightarrow X$$f_{y}(0) = x$$f_{y}(y) = 1$$X = \underset{y \in X}{\bigcup} f_{y}([0,1])$$x \in f_{y}([0,1])$$y \in X$$x = f_{y}(0), \ \forall y \in X$$\{ f_{y}([0,1]) \}_{y \in X}$$X$

dem:compacto_homeo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-17T13:54:20+00:00

Sejam $X, Y$ espaços topológicos Hausdorff, $X$ compacto e $f: X \to Y$ função contínua bijetora. Então $f$ é um homeomorfismo. Demonstração: Já temos a bijetividade e a continuidade de $f$ como hipótese. Para mostrar que $f$ é de fato um homeomorfismo, só resta provar que $f^{-1}: Y \to X$$F\subset X$$(f^{-1})^{-1}[F] = f[F]$$f$$X$$Y$$f[F]$$Y$$f^{-1}$$Y$$f^{-1}$$f$

dem:completaprodenummetricos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T01:26:29+00:00

Demonstração. Seja $((x_k^{(n)})_{k \in\mathbb{N}})_{n \in\mathbb{N}}$ uma ${\rm d}$-sequência de Cauchy em $\prod_{n\in\mathbb{N}}X_n$. Fixe $k\in\mathbb{N}$. Seja $\epsilon > 0$. Existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para $m,n > n_0$,nós temos $$d((x_r^{(n)})_{r\in\mathbb{N}},(x_r^{(m)})_{r\in\mathbb{N}})=\sum_{r \in\mathbb{N}}\frac{1}{2^{r+1}}{\rm d}_r(x_r^{(n)},x_r^{(m)}) < \frac{\epsilon}{2^{k+1}}.$$ Então, $$\frac{1}{2^{k+1}}{\rm d}_k(x_k^{(n)},x_k^{(m)}) \leq \sum_{r \in\mathbb{N}}\frac{1}…

dem:conexo-_separado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-01T00:13:03+00:00

Corolário Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se $Y\subset X$ conexo e $A,B\subset X$ são mutuamente separados tal que $Y\subset A\cup B$, então $Y \subset A$ o $Y \subset B$. Demonstração: Suponha que $Y \subset A$ e $Y \subset B$, então veremos que $Y$ não é conexo. Em efeito, temos $Y=(Y\cap A)\cup (Y\cap B)$ e também $\overline{Y\cap A}\cap (Y\cap B)\subset\overline{A}\cap B=\emptyset$ da mesma forma $(Y\cap A) \cap \overline{Y\cap B}=\emptyset$, logo $Y$ não é conexo o que é absurdo.…

dem:continuaempurracompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-17T13:16:21+00:00

Sejam $X, Y$ espaços topológicos e $f: X \to Y$ uma função contínua bijetora. Se $X$ é compacto, então $Y$ também é compacto. Demonstração: Seja ${C}_Y$ uma cobertura aberta de $Y$. Como $f$ é contínua, temos que ${C}_X:=\{f^{-1} (A) : A\in {C}\}$ é uma coleção de abertos de $X$. Repare também que ${C}_X$$X$$x\in X$$A\in{C}_Y$$f(x)\in A$$x\in f^{-1}(A)$${C}_X$$X$$X$${C}_X^* \subset {C}_X$$X$${C}_Y^*=\{A\in {C}_Y : f^{-1}(A)\in {C}_X^*\}\subset {C}_Y$$f$$y\in Y$$x\in X$$f(x) = y$$x$$f^{-1}(A)\…

dem:contratilssehomotequnitario

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T08:29:34+00:00

Proposição: Seja $X$ um espaço topológico. $X$ é contrátil se, e somente se, $X$ é homotopicamente equivalente a um espaço unitário. Demonstração Primeiramente, vamos supor que $X$ é contrátil. Portanto, dado $c\in X$, temos que $Id_X \simeq c$. Vamos considerar o espaço unitário $\{c\}$$f: X \to \{c\}, ~f(x) = c,~ \forall x\in X$$g: \{c\} \to X, ~g(c) = c$$f \circ g (c) = f(c) = c$$f\circ g = Id_{\{c\}}$$g\circ f (x) = g(c) = c$$g\circ f \equiv c \simeq Id_X$$X$$\{c\}$$X$$\{a\}$$f:X \to \{a\…

dem:corolario

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T14:01:03+00:00

Seja $D=\{d \in Y : f(d) = g(d)\}$ e $y \in Y \diagup D$, isto é, $f(y) \neq g(y)$. Como $ p: X \rightarrow \tilde{X}$ é um espaço de recobrimento, seja $A \subset X$ aberto tal que $p(f(y)) \in A$. Por $f$ e $g$ serem um levantamentos para $\varphi$, $p(f(y)) = \varphi(y) = p(g(y))$. Assim, $\exists A_i$, $A_j \subset \tilde{X}$ distintos tais que $f(y) \in A_i$ e $g(y) \in A_j$. Como $f, g$ são contínuas, $\exists V, W \subset Y$ abertos tais que $f[V] \subset A_i$ e $f[W] \subset A_j$ com…

dem:demo1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-13T08:57:49+00:00

Proposição. Seja $(X,\tau)$ espaço compacto e seja $F \subset X$ fechado. Então $F$ é compacto. Demonstração: Seja $\mathcal{A}$ uma cobertura aberta para $F$ e, para cada $A \in \mathcal{A}$, consideremos $A^*$ aberto em $X$ tal que $A^* \cap F = A$. Neste caso, é fácil ver que $\mathcal{A}^* \cup \lbrace X-F \rbrace$ é uma cobertura aberta para $X$, onde $\mathcal{A}^*=\lbrace A^*: A \in \mathcal{A} \rbrace$. Como $X$$\mathcal{B}$$\mathcal{B} - \lbrace X- F \rbrace$$\mathcal{A}$$F$

dem:demo2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-15T20:56:57+00:00

Proposição. Sejam $(X, \tau)$ um espaço compacto de Hausdorff e $F \subset X$ um conjunto. Então, $F$ é fechado se, e somente se, $F$ é compacto. Demonstração: Provamos anteriormente que, nestas hipóteses, se $F$ é fechado então $F$ é compacto (nesta parte $X$ não precisa ser Hausdorff). Agora, supondo $F$$x \in X-F$$A$$x \in A \subset X-F$$X-F$$F$

dem:demo3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-15T21:02:19+00:00

Proposição. Todo espaço compacto de Hausdorff é normal. Demonstração: Conforme sabemos, em espaços de Hausdorff, os subespaços compactos são fechados. Além disso, como Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos, então o a normalidade segue trivialmente.

dem:demoaux2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-13T10:31:02+00:00

Proposição. Seja $(X,\tau)$ espaço de Hausdorff. Sejam $F,G \subset X$ compactos disjuntos. Então existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A$ e $G \subset B$. Demonstração: Sejam $F,G \subset X$ compactos disjuntos. Pelo lema, para cada $y \in G$, existem $A_y, \; B_y$ abertos tais que $F \subset A_y$, $y \in B_y$ e $A_y \cap B_y = \emptyset$. Como $G$ é compacto, existem $y_1,y_2,\ldots,y_n \in G$ tais que $G \subset \bigcup_{i=1}^n B_{y_i}$$A=\bigcap_{i=1}^n A_{y_i}$$B=\bigcup_{i=…

dem:demoprop

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-03T16:15:50+00:00

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. $D \subset X$ é denso se, e somente se, para todo aberto não vazio $A$, $A \cap D \neq \emptyset$. $D$ sendo denso em $X$, então, por definição, $\overline{D} = X$. Seja $x \in X$ e $A$ uma vizinhança aberta de $x$ tal que $x \in A$. Como $x \in X=\overline{D}$, assim, $A \cap D \neq \emptyset$. Reciprocamente, suponha que $\overline{D} \neq X$$x \notin \overline{D}$$A$$x$$D \cap A = \emptyset$$D$$X$

dem:demoprop1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-05T23:41:34+00:00

Se um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então ele é separável. Se $X$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então ele admite uma base enumerável. Vamos escrever essa base desse modo: $\mathcal{B}=\{B_{n}: n \in \mathbb{N}\}$ uma base para $(X,\tau)$. Para cada $n \in \mathbb{N}$$x_n \in B_n$$B_n$$D=\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$$X$$x \in X$$A$$x$$\mathcal{B}$$B_n \in \mathcal{B}$$x \in B_n \subset A$$x_n \in B_n$$x_n \in A \cap D \neq \emptyset$$D$$…

dem:demoprop2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-03T16:24:03+00:00

Se $(X,d)$ é um espaço métrico separável, então $(X,d)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Se $(X,d)$ é separável, então admite um subconjunto denso enumerável. Seja $\{x_n:n \in \mathbb{N}\}$ esse subconjunto em $X$. Considere $\mathcal{B}=\{B_{\frac{1}{m}}(x_n):n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}_{>0}\}$ enumerável, pois é o produto de enumeráveis.$\mathcal{B}$$A$$x\in A$$\varepsilon >0$$B_{\varepsilon}(x) \subset A$$m \in \mathbb{N}$$\frac{1}{m} < \frac{\varepsilon}{2}$$\{x_n:n \…

dem:ehgrupo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T19:39:47+00:00

Proposição: Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico e $x_0 \in X$. Então $(\pi_{1}(X,x_{0}),\ast)$ é um grupo. Demonstração: Dando atenção aos laços com o ponto base fixado $x_{0} \in X$, garantimos que o produto $f\ast g$ de quaisquer dois laços está definido. Já observamos que a classe de homotopia de $f\ast g$ depende somente das classes de $f$$g$$[f][g] = [f\ast g]$$f$$f\varphi$$\varphi\colon I \to I$$\varphi(0)=0$$\varphi(1) = 1$$f\varphi \simeq f$$f\varphi_{t}$$\varphi_{t}(s) = (1-t)\varphi(…

dem:ehisomorfismo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T21:02:11+00:00

Proposição: A função $\beta_{h}\colon \pi_{1}(X,x_{1}) \to \pi_{1}(X,x_{0})$ é um isomorfismo. Demonstração: Vemos primeiro que $\beta_{h}$ é um homomorfismo, pois: $$ \beta_{h}[f\ast g] = [h\ast f\ast g\ast \bar{h}] = [h\ast f\ast \bar{h}\ast h\ast g\ast \bar{h}] = \beta_{h}[f]\ast \beta_{h}[g] $$ E $\beta_{h}$ é um isomorfismo com a inversa $\beta_{\bar{h}}$, já que: $$ \beta_{h}\beta_{\bar{h}}[f] = \beta_{h}[\bar{h}\ast f\ast h] = [h\ast \bar{h}\ast f\ast h\ast \bar{h}] = [f] $$ Análogo para…

dem:exemplo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-03T16:21:56+00:00

Todo subespaço de um espaço que tenha base enumerável é separável. Como $X$ tem base enumerável, podemos escrever: $\mathcal{B}=\{B_n:n \in \mathbb{N}\}$. Seja $Y$ subespaço de $X$. Queremos mostrar que todo subespaço de um espaço com base enumerável tem base enumerável. Dada qualquer base enumerável $\mathcal{B}$$X$$\mathcal{B'}$$B \cap Y$$B \in \mathcal{B}$$Y$$A'\in \tau_Y$$x \in A'$$A \in \tau$$A'=A \cap Y$$x \in A$$\mathcal{B}$$X$$B \in \mathcal{B}$$x \in B \subset A$$x \in B \cap Y \s…

dem:exemplobes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-08T13:03:33+00:00

dem:funbase13

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-16T18:09:48+00:00

Função base 13 de Conway Considere os algarismos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, ;$ e para cada $x \in \mathbb{R}$ expresso nesta base, considere a função \[ f(x) = \begin{cases} a_1\dots a_n,b_1\dots, \text{se a expansão de}\; x\; \text{termina em}\; +a_1\dots a_n;b_1\dots \\ -a_1\dots a_n,b_1\dots, \text{se a expansão de}\; x\; \text{termina em}\; -a_1\dots a_n;b_1\dots \\ 0, \text{caso contrário} \end{cases} \] Notemos que $f$ é sobrejetora, …

dem:gdeltacompletamentemetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T21:56:39+00:00

Teorema: Todo $G_{\delta}$ num espaço métrico completo é completamente metrizável. (aqui $G_{\delta}$ é uma interseção enumerável de abertos). Demonstração: Sejam $(X,d)$ métrico e $G_{\delta} = \underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap}A_{n}$, onde cada $A_{n}$ é aberto em $X$. Pela proposição anterior temos que para cada $n \in \mathbb{N}$ existe uma métrica completa $d_{n}$ equivalente a $d$$A_{n}$$d_{n}$$1$$\underset{n \in \mathbb{N}}{\prod}A_{n}$$\underset{n \in \mathbb{N}}{\prod}A_{n}$$$\Delta …

dem:hausdorffcompacto-_localcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-16T17:53:03+00:00

Se $(X,\tau)$ é um espaço de Hausdorff compacto, então $(X,\tau)$ é localmente compacto. Demonstração: Por ser um espaço de Hausdorff compacto, $X$ é normal. Desta forma, como todo espaço normal é regular e todo $x\in X$ de um espaço regular admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas, obtemos que todo $x \in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças compactas, pois todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto. Portanto, $(X,\tau)$ é localmente compacto.…

dem:hausdorfflocalmentecompacto-_compregualr

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-16T21:28:26+00:00

Se $(X,\tau)$ é um espaço de Hausdorff localmente compacto, então $(X,\tau)$ é completamente regular. Demonstração: Sejam $x \in X$ e $F\subset X$ fechado tais que $x \notin F$. Devemos mostrar que existe uma função contínua $f: X \to [0,1]$ tal que $f(x) = 0$ e $f[F] = \{1\}$. Como $X$ é localmente compacto, existe um sistema fundamental de vizinhanças compactas de $x$$x\in X \setminus F$$V$$x$$V \subset X \setminus F$$V$$V$$A$$x \in A \subset V$$V \setminus A$$V$$x \notin V \setminus A$$g: V …

dem:homominduzido

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T22:37:07+00:00

Proposição: Toda $\varphi\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ contínua induz um homomorfismo $\varphi^{\sharp}\colon \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y,y_{0})$. Demonstração: A função induzida $\varphi^{\sharp}$ está bem definida, pois a homotopia $f_{t}$ de laços com base em $x_{0}$ nos dá a homotopia composta $\varphi f_{t}$ de laços com base em $y_{0}$, então, $\varphi^{\sharp}[f_{0}] = [\varphi f_{0}] = [\varphi f_{1}] = \varphi^{\sharp}[f_{1}]$. E mais, $\varphi^{\sharp}$ é um homomorfismo já que $\…

dem:imcompt2fechado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-17T13:29:20+00:00

Sejam $X, Y$ espaços topológicos, $Y$ Hausdorff e $f: X \to Y $ contínua. Se $F\subset X$ for compacto, então $f[F]\subset Y$ é fechado. Demonstração: Seja $F\subset X$ compacto. Pela proposição anterior, temos que $f[F] \subset Y$ é compacto (basta olhar para $f|_F : F \to f[F]$). Mas em espaços Hausdorff, compacto implica em fechado. Portanto, como $Y$$f[F]$$Y$

dem:induztopprodenummetricos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:58:24+00:00

Demonstração. Vamos provar que a métrica $d$ induz a topologia do produto em $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$, onde cada $X_n$ vem junto com a topologia induzida pela métrica $d_n$. Primeiro, seja $\mathcal{O}$ um aberto básico em $\prod_{n \in \mathbb {N}}X_n$, então $\mathcal{O} = \prod_{n \in \mathbb{N}}O_n$, onde cada $O_n$ é aberto em $X_n$, e onde temos um conjunto finito $F \subset \mathbb{N}$ tal que $n \in F$$X_n\neq O_n$$\mathcal{O}$$d$$x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathcal{O}$$r>0$$B_d(…

dem:irracionaiscompletamentemetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T16:06:47+00:00

Corolário:Existe uma métrica completa equivalente à usual sobre $\mathbb{R \setminus Q}$. Demonstração: Notemos que podemos escrever $\mathbb{Q} = \{ q_{n}: n \in \mathbb{N} \}$, com isso notemos então que $\mathbb{R \setminus Q} = \underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap} \mathbb{R} \setminus \{ q_{n} \}$, como cada $\mathbb{R} \setminus \{ q_{n} \}$ é aberto temos pelo teorema anterior temos que $\mathbb{R \setminus Q}$ é completamente metrizável.

dem:metricaprodenummetricos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T21:47:21+00:00

Demonstração. Sejam $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}=: x, (y_n)_{n \in \mathbb{N}}=: y, (z_n)_{n \in \mathbb{N}}=: z \in \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$. É claro que $d(x, y) \in \mathbb{R}$ pois a série $\sum_{n \in \mathbb{N}}\dfrac{d_n (x_n, y_n)}{2^{n + 1}}$ converge, usando teste da comparação, graças ao fato de que $d_n$ é limitado por 1 para cada $n$. * Vamos mostrar que $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$. Suponha que $d(x, y) = 0$. Então, $\sum_{n \in \mathbb{N}}\dfrac{d_n(x_n, y_n)}{2^{n + …

dem:metricaprodunitinterval

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T03:36:34+00:00

Teorema Seja $(X, \tau)$ um espaço $T_1$. As seguintes afirmações são equivalentes: $(a) X$ é $T_3$, e tem uma base enumerável; $(b) X$ é separável e metrizável; $(c) X$ é homeomorfo a um subespaço de $[0, 1]^{\mathbb{N}}$ (com topologia produto). Demonstração. * $(c)\Rightarrow (a)$. Observe que $[0, 1]^{\mathbb{N}}$ é 2nd countable and regular (já que sob a topologia produto, $X$$[0, 1]^{\mathbb{N}}$$(a)$$(a)\Rightarrow (c)$$(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$$X$$C:=\{(m, n): \overline{B_m}\s…

dem:mutuaseparados_-_conexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-30T21:38:26+00:00

Proposição: Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Então $Y\subset X$ é conexo se, e somente se, não existem $A,B\subset X$ mutuamente separados tais que $Y=A\cup B$. Demonstração: Caso 1: $Y=X$ Suponha que existem $A,B\subset X$ mutuamente separados tais que $X=A\cup B$, então $\overline{A}=\overline{A}\cap (A\cup B)=A\cup \emptyset=A$ logo $A$ é fechado, da mesma forma $B$ é fechado, por tanto $A=X\setminus B$$B=X\setminus A$$X=A\cup B$$X$$A,B\subset X$$X=A\cup B$$A=X\setminus B$$B=X\setminus A…

dem:numlebesgue

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-23T09:02:57+00:00

Toda cobertura aberta de um espaço métrico compacto admite um número de Lebesgue Definição. Seja $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta para um espaço métrico $X$. Dizemos que $\varepsilon$ é um número de Lebesgue para $\mathcal{C}$ se, para todo conjunto $A \subset X$ com diâmetro menor do que $\varepsilon$, temos que existe $C \in \mathcal{C}$$A \subset C$$X$$X$$\mathcal{C}$$X$$n \in \mathbb{N}$$\frac{1}{n}$$\mathcal{C}$$A_n \subset X$$diam(A_n)< \frac{1}{n}$$A_n$$C \in \mathcal{C}$$A_n \neq \emp…

dem:pontofixobrouwer

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-17T21:59:09+00:00

Teorema do ponto fixo de Brouwer. Sejam $D^2=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2: \sqrt{x^2+y^2} \leq 1\rbrace $ e $f:D^2 \to D^2$ uma função contínua. Então, $f$ admite ponto fixo. Demonstração.

dem:posernaohomeo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-01T10:23:52+00:00

O intervalo $[0, \infty)$ e $\mathbb{R}$ não são homeomorfos Suponha que exista um homeomorfismo $f$ entre $[0, \infty)$ e $\mathbb{R}$, e seja $\beta = f(0)$. Considere $g$ a restrição da função $f$ ao intervalo $(0, \infty)$, note que $g$ é um homeomorfismo e que o último é um conjunto conexo. Mas $g((0, \infty)) = \mathbb{R} \setminus \{beta\}$, logo, temos um homeomorfismo entre um conjunto conexo e um não-conexo, uma contradição. Conclusão, não existe um homeomorfismo entre o intervalo $[0…

dem:propp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T00:06:35+00:00

Dado $D=\{y \in Y : f(y) = g(y)\}$, seja $y \in D$. Como $f$ (ou $g$) é um levantamento para $\phi$ e $ p: X \rightarrow \tilde{X}$ é um espaço de recobrimento, seja $A \subset X$ aberto tal que $\phi(y) = p(f(y)) \in A$ e $A_i \subset \tilde{X}$ aberto e homeomorfo à $A$ e $f(y) \in A_i$. Dado que $f, g$ são contínuas, $\exists$ $V, W$ abertos tais que $f[V], g[W] \subset A_i$ e que $y \in V, W$. Assim, note que, dado $z \in V \cap W$: $\phi(z) = p(f(z)) = p_i(f(z)) = p_i(g(z)) = p(g(z…

dem:rer2naohomeo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-01T10:23:09+00:00

$\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$ não são homeomorfos Suponha que exista uma $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ contínua e bijetora, e seja $\alpha \in \mathbb{R}$ e $f(\alpha) = \beta \in \mathbb{R}^2$. Defina $g:\mathbb{R} \setminus \{\alpha\} \rightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{\beta\}$ a restrição da $f$ ao complementar do conjunto $\{\alpha\}$, note que $g$ é contínua e bijetora, e portanto um homeomorfismo. Mas, $\mathbb{R} \setminus \{\alpha\}$ não é um conjunto conexo, logo existe um …

dem:retracaodeformacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T08:29:19+00:00

Proposição: Sejam $X$ um espaço topológico, $A\subset X$ e $r:X\to A$ uma retração de deformação. Então $A$ e $X$ são homotopicamente equivalentes. Demonstração Vamos considerar a aplicação de inclusão $i: A\to X$. Temos então que $r\circ i: A\to A$ é tal que $r(i(a)) = r(a) = a,~\forall a\in A$$r\circ i = Id_A$$i\circ r: X\to X$$i(r(x)) = r(x), ~\forall x\in X$$i\circ r = r: X\to X$$r$$r\simeq Id_X$$i\circ r \simeq Id_X$$A$$X$

dem:s1naohomeosubr

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-01T10:24:44+00:00

O conjunto $S^1 = \{(x, y):x^2+y^2=1\}$ não é homeomorfo a qualquer subespaço de $\mathbb{R}$ Seja $f:S^1 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua e bijetora, como $S^1$ é conexo segue que $f(S^1)$ é um intervalo, além disso, como $S^1$ é compacto temos que $f(S^1) = [a, b]$ um intervalo fechado e limitado. Seja $\alpha \in S^1$$\beta = f(\alpha) \notin f^{-1}(\{a, b\})$$a<\beta

dem:subconjconexa-_conexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-01T01:36:53+00:00

Proposição Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se $A\subset X$ é conexo y $A\subset B\subset\overline{A}$, então $B$ é conexo. Demonstração: Suponha que $B$ não é conexo. Então existem $U$ e $V$ mutuamente separados não vazios tais que $B=U\cup V$. como $A\subset U\cup V$ , por A ser conexo, temos $A\subset U$ ou $A\subset V$. Sem perda de generalidade $A\subset U$$\overline{A}\cap V \subset\overline{U}\cap V=\emptyset$$V=\emptyset$

dem:t1semptoisoladonaoehbaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T15:20:13+00:00

Todo espaço enumerável $T_1$ sem pontos isolados não é de Baire Demonstração: Considere $(X,\tau)$ um espaço topológico enumerável $T_1$, sem pontos isolados. Como $X$ é enumerável podemos escolher $x_n \in X$, com $ n \in \mathbb{N}$ e, como o espaço é $T_1$, podemos afirmar que para cada $x_k\in X$, com $\ k\in\mathbb{N}$ e $k \neq n$, existe $A_k \in (X, \tau)$$x_k \in A_k$$x_n \notin A_k$$$\bigcup_{k\ \in \ \mathbb{N} \ \setminus {\{n\}}} \ A_k = X\setminus {\{x_n \}}\ \in (X, \tau)$$$…

dem:tempterra

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-01T10:25:35+00:00

Existem dois pontos antípodas na superfície da terra que estão na mesma temperatura Considere a função $F:T \rightarrow \mathbb{R}$, $F(x) = t(x) - t(x')$, em que $x'$ é o antípoda de $x$. Note que $F$ é uma função contínua e denote por $PN$ o polo norte e $PS$ o polo sul. Considere também, um caminho $f:[0, 1] \rightarrow T$ tal que $f(0) = PN$$f(1) = PS$$F \circ f$\[ F(f(0)) = t(PN) - t(PS) \\ F(f(1)) = t(PS) - t(PN) \]$t(PN) = t(PS)$$F(f(0))>0$$F(f(1))<0$$F(f(1))>0$$F(f(0))<0$$s \in [0, 1]$$…

dem:teobolzweierstrass

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-26T12:58:07+00:00

Teorema de Bolzano-Weierstrass Demonstração: Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é limitada, então existe uma bola de raio finito $B \subset \mathbb{R}^n$ tal que $x_n \in B, \forall n \in \mathbb{N}$. Além disso, $\overline{B} $ é um conjunto fechado e limitado, portanto compacto. E como toda sequência em um compacto admite subsequência convergente, conclúimos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$

dem:teometricasequiv

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-26T13:20:38+00:00

Todas as métricas no $\mathbb{R}^n$ são equivalentes Demonstração: Para mostrar este resultado, vamos provar que todas as normas em $\mathbb{R}^2$, os casos em que $n>2$ são análogos, são equivalentes a norma 1, dada por, \[ ||(x, y)||_1 = |x|+|y| \] Mostremos primeiro que a função $||\cdot||:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função contínua. Dado $\varepsilon>0$$K = \max\{||(1, 0||, ||(0, 1)||\}$$\delta=\frac{\varepsilon}{K}$$(a, b) \in \mathbb{R}^2$$(x, y) \in \mathbb{R}^2$$||(x, y…

dem:teoweierstrass

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-26T12:53:05+00:00

Teorema de Weierstrass Demonstração: Como $K$ é compacto, segue que $f(K)$ é um conjunto compacto. Todo compacto da reta é um conjunto fechado e limitado, e portanto admite pontos de máximo e de mínimo.

dem:uniaoconexa-_conexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-01T01:23:44+00:00

Proposição Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. a) Se $X=\cup_{i\in I}X_i$ e $X_i$ é conexo para cada $i\in I$ tal que $X_i\cap X_j\neq\emptyset$ para todo $i,j\in I$, então $X$ é conexo. b) Se para cada $x,y\in X$ existe $A\subset X$ conexo tal que $x,y\in A$, então $X$ é conexo. Demonstração: a) Suponha que $X$ não é conexo, então exitem $A,B\subset X$ não conjuntos mutuamente separados tais que $X=A\cup B$$X_i\subset X=A\cup B$$X_i\subset A$$X_i\subset B$$i\in I$$i,j\in I$$X_i\subset A$$X_…

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