Seja $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ uma família de conjuntos conexos tais que $A_n\cap A_{n+1}\neq\emptyset$. Então $ \cup _{n\in\mathbb{N}} A_n $ é conexo.
Para provar esse resultado usaremos a seguinte proposição:
Proposição
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico.
a) Se $X=\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$, onde cada $X_\alpha$ é conexo e $X_{\alpha}\cap X_{\beta}\neq\emptyset$ para quaisquer $\alpha,\beta\in I$ distintos, então $X$ é conexo.
b) Se para quaisquer $x,y\in X$ existir $A\subset X$ conexo tal que $x,y\in A$, então $X$ é conexo.
Solução
Em primeiro lugar, mostraremos por meio de uma indução finita que a propriedade é válida para $n=k$ finito.
Sejam $X_1, X_2$ conexos tais que $X_1\cap X_2\neq\emptyset$, pelo item (a) da proposição temos que $X_1\cup X_2$ é conexo.
Agora, por hipótese de indução, vamos supor que o resultado é verdadeiro para $n=k$. Assim, dado $n=k+1$, temos:
$\cup ^{k+1} _{n=1} X_n= \cup ^{k} _{n=1} X_n \cup X_{k+1}$. Como, por hipótese, $\cup ^{k} _{n=1} X_n \cap X_{k+1} \neq \emptyset$ e $\cup ^{k} _{n=1} X_n , X_{k+1}$ são conexos, temos que $\cup ^{k+1} _{n=1} X_n$ é conexo, também pelo item (a) da proposição.
Agora, consideremos $X=\cup_{n\in \mathbb{N}}X_{n}$. Dados $x, y \in X$ distintos e quaisquer, temos que existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $x, y \in \cup ^{k} _{n=1} X_n$, que é conexo. Assim, como $\cup ^{k} _{n=1} X_n \subset X$, temos pelo item (b) da proposição que $X$ é conexo.