Teorema de Tychonoff
O teorema de Tychonoff é um dos mais importantes resultados de topologia, de maneira simples ele afirma que o produto arbitrário de compactos é compacto, e com isso determinamos bases para a definição da topologia produto (ou como alguns autores denominam: topologia de Tychonoff).
Teorema
Seja $(X_\alpha, \tau_\alpha)$ espaços compactos. Então $X=\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ é compacto.
Demonstração: Defina
$$C=\{\pi_{\alpha}^{-1}[V];~V\in \tau_\alpha\},$$ cobertura de $X$ por abertos sub-básicos, e considere
$$C_\alpha=\{V\in \tau_\alpha;~\pi_\alpha^{-1}[V]\in C\}.$$ Provemos que existe $\beta\in A$ tal que $C_\beta$ é cobertura para $X_\beta$. Suponhamos que não seja verdade, logo para todo $\beta\in A$ temos que $C_\beta$ não cobre $X_\beta.$ Então para todo $\beta\in A$ tome $x_\beta$ que pertence a $X_\beta$ mas não pertence a nenhum aberto de $C_\beta$. Logo $(x_\beta)_{\beta\in A}$ não pertence a nenhum elemento de $C,$ absurdo!
Agora, tomando $\beta$ tal que $C_\beta$ cubra $X_\beta$, como $X_\beta$ é compacto, tomemos uma subcobertura finita
$$X_\beta\subset V_1\cup \cdots \cup V_n$$ E portanto temos uma subcobertura finita de $X$ por abertos sub-básicos de $C$
$$\prod_{\alpha \in A}X_\alpha \subset \pi_{\beta}^{-1}[V_1]\cup \cdots \cup \pi_{\beta}^{-1}[V_n],$$ o que, pelo usando o Lema de Alexander, demonstrata a compacidade de $X.$ $~~~~~~~~~~~~\square$
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Em nosso próximo resultado podemos ver, que se uma topologia $\tau$ torna $X$ compacto, então esta topologia não pode ser estendida de maneira que $X$ continue compacto.
Proposição 1
Seja $(X,\tau)$ compacto Haussdorff. Seja $\sigma \supsetneq \tau$. Então $(X,\sigma)$ não é compacto.
Demonstração: Suponha um aberto $V$ pertencente a $\sigma$ mas não a $\tau$. Logo $X\backslash V$ é fechado em $\sigma$ mas não em $\tau,$ então existe uma cobertura $C$ de $X\backslash V$ por abertos de $\tau$ que não possui uma subcobertura finita. Adicionando $V$ a essa cobertura, temos que $C\cup \{V\}$ é uma cobertura de $X$ por abertos de $\sigma$ que não possui subcobertura finita. Logo $(X,\sigma)$ não é compacto. $~~~~~~~~\square$
$$~$$ Segue disso um importante resultado, com ele definimos a topologia produto.
Corolário
A topologia produto é a única que faz com que as projeções sejam contínuas e que o produto de compactos Haussdorff sejam compactos.
Demonstração: Suponha que exista outra topologia $\sigma$ com esta propriedade.
$(\subset):$ $T$ está munido com a topologia fraca, ou seja, a menor topologia que deixa todas as projeções contínuas, então $\tau \subset \sigma$.
$(\supset):$ Pela Proposição 1 segue que $\tau$ não pode ser estendida por $\sigma.$ $~~~~~~~~~~\square$
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Alguns autores chamam os espaços completamente regulares de espaços de Tychonoff.
Proposição 2
Considere $(X,\tau)$. Então $X$ é completamente regular se, e somente se existe $Y$ compacto Haussdorff tal que $X\subset Y$.
Demonstração: $(\Longleftarrow)$ Se existe $Y$ compacto Haussdorff, sabemos que $Y$ é normal, portanto $X$ é completamente regular.
$(\Longrightarrow)$ Suponha $X$ completamente regular. Definindo $\mathcal{F}=\{f:X\rightarrow [0,1];~f~\text{é contínua}\}$, temos que $\mathcal{F}$ separa pontos de fechados pela Proposição 3.2.11 das notas de aula. Segue do Teorema da Imersão que
$$X\subset \prod_{f\in \mathcal{F}}[0,1],$$ e pelo Teorema de Tychonoff sabemos que o conjunto do lado direito é compacto. $~~~~~~~~~~~~\square$