Esse é um exemplo simples, porém útil para entendermos como funciona um espaço com a topologia quociente:

Isto é \(\tilde{1} = \{y \ | \ 1 \sim y\}=\{0,1\}\) e \(\tilde{x} = \{x\} \ \forall x \in ]0,1[\), tome o espaço \([0,1]/\sim, \tau\), onde \(\tau\) é a topologia quociente, note que nesse espaço qualquer aberto contento zero, vai conter o 1 também, logo, intuitivamente, nosso espaço se assemelha com a $(S^1, \sigma)$,onde $\sigma$ é a topologia de subespaço de \(\mathbb{R}^2\): De fato, tomemos nossa circunferência parametrizada da seguinte forma: $$S^1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = \frac{1}{2\pi},$$ assim nossa circunferência possui perímetro $1$, dividiremos nosso intervalo $[0,1]/\sim$ em quatro partes, e definimos a função $f:[0,1]/\sim \to S^1$ da seguinte forma, definimos os extremos dos subintervalos nos extremos da circunferência,de forma que cada ponto entre os subintervalos caia no arco definido entre as imagens dos extremos dos subintervalos, intuitivamente estamos cobrindo a $S^1$ com $[0,1]/\sim$ no sentido anti-horário (como segue na imagem): \begin{equation} f(\tilde{1}) = (1,1.3989)\\ f\left(\tilde{\frac{1}{4}}\right) =(0.60106,1)\\ f\left(\tilde{\frac{1}{2}}\right) =(1,1.3989)\\ f\left(\tilde{\frac{3}{4}}\right) =(1,0.60106)\\ \end{equation}
Como $S^{1}$ possui perímetro $1$ garantimos a sobrejetividade de $f$, e pela forma que definimos garantimos também a injetividade, logo $f^{-1}$ está bem definido.
Provemos a continuidade de ambas as funções, para isso, note que todo aberto $V \subsetneq S^1$ está contido entre dois pontos extremos de $S^{1}$, pois basta tomar o dois extremos $ s_i = (a_i,b_i),s_j = (a_j,b_j) \notin V$, intuitivamente esse são os pontos “logo após” e “logo antes” de $V$, tais pontos advém do fato de $V$ ser aberto e diferente de $S^1$, e então tomamos $arco(s_is_j)= (]a_i,a_j[\times ]b_i,b_j[) \cap S^{1}$, que é aberto e por construção $V \subset arco(s_is_j)$, logo provaremos a continuidade nesses abertos.
Tome $s_i$ e $s_j$, os pontos extremos da circunferência de forma que $f(\tilde{1}) \notin arco(s_i,s_j)$, e seja $ arco(s_is_j) \in \sigma$ como feito anteriormente e $i,j \in (0,1)/\sim$, com $i \leq j$, tal que $f(i) = (a_i,b_i)$ e $f(j) = (a_j,b_j)$, por definição temos $f(]i,j[) = arco(s_is_j)$, além disso note que tomando $\pi$ morfismo projeção, temos $]i,j[ = \pi(]i,j[)$, pois $ [0] \notin ]i,j[$,logo tal intervalo é aberto em $[0,1]/\sim$. (Como $\tilde{i} = \{i\}$, omitimos a notação de classe de equivalência.)
Agora seja $s_i,s_j$ de forma que $f(\tilde{1}) \in arco(s_i,s_j)$,temos que $arco(s_i,s_j) = f(]j,i[)$,note que nesse caso, de forma intuitiva, é como se percorrêssemos de $j$ até $1$, e então “caímos” em $0$ e enfim seguimos até $i$,afirmamos que tal conjunto é um aberto em $[0,1]/\sim$, pois note que $[0,i[, ]j,1[$ é aberto em $[0,1]$, com a topologia de subespaço, e além disso, $\pi([0,i[)= [\tilde{0},i[$, e $\pi(]j,1[)=]j,\tilde{1}[$, como $]j,i[ = ]j,\tilde{1}[ \cup [\tilde{0},i[$, temos então que $\pi^{-1}(]j,i[) = [0,i[ \cup ]j,1[ $.
Assim imagem de aberto pela $f$ é aberto, ie, pré-imagem de aberto pela $f^{-1}$ é aberto, logo $f^{-1}$ é contínua, como $(S^{1},\sigma) $ é Hausdorff e compacta e $[0,1]/\sim$ é Hausdorff, comcluímos que $f^{-1}$ é homeomorfismo, ou seja, $f$ é um homeomorfismo.