Topologia Quociente
Nesta seção definiremos o conceito de Topologia Quociente, o qual pode ser apresentado de duas maneiras, uma utilizando da noção de topologia forte e outra através de aplicações quocientes.
Definição
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $\sim$ uma relação de equivalência sobre $X$. Chamamos de a topologia quociente sobre $X / \sim$ a topologia forte induzida pela família da aplicação $\{ \pi \}$, em que $\pi: X \to X / \sim$ é a aplicação projeção definida por $\pi(x) = \tilde{x}$, com $\tilde{x} = \{ y \in X: y \sim x \}$.
Disso, segue que a topologia quociente sobre o conjunto $X / \sim$ é o conjunto $\{ V \subset X: \pi^{-1}(V) \in X \}$.
Agora, sejam $(X, \theta)$ e $(Y, \tau)$ dois espaços topológicos e $\pi: X \to Y$ uma aplicação sobrejetora. Dizemos que $\pi$ é uma aplicação quociente desde que um subconjunto $V \subset Y$ é aberto em $Y$ se, e somente se, a pré-imagem $\pi^{-1}(V)$ é aberto em $X$. Segue, desse conceito, o resultado que caracteriza a topologia quociente.
Proposição
Sejam $(X, \theta)$ um espaço topológico, $Y$ um conjunto arbitrário e $\pi: X \to Y$ uma aplicação sobrejetora. Então, existe uma única topologia $\tau$ em $Y$ relativa a qual $\pi$ é uma aplicação quociente. Nesse caso, $\tau$ é chamada a topologia quociente induzida por $\pi$.
Demonstração: Definimos $\tau$ pondo $$\tau = \{ V \subset Y : \pi^{-1}(V) \ \acute{e} \ aberto \ em \ X \}.$$ Isso posto, se torna fácil de notar que os conjuntos triviais $Y$ e $\emptyset$ são abertos, pois $$\pi^{-1} (Y) = X \ \ e \ \ \pi^{-1}(\emptyset) = \emptyset.$$ As duas outras condições, para que a coleção $\tau$ seja uma topologia em $Y$, seguem das equações $$\pi^{-1} \bigg( \bigcup_{\alpha \in I} V_\alpha \bigg) = \bigcup_{\alpha \in I} \pi^{-1}(V_\alpha) \ \ \ e \ \ \ \pi^{-1} \bigg( \bigcap_{i=1}^n V_i \bigg) = \bigcap_{i=1}^n \pi^{-1}(V_i),$$ em que $\{ V_\alpha : \alpha \in I \}$ e $\{V_i : i=1, 2, \ldots , n \}$ são duas famílias de elementos de $\tau$. Com isso, finaliza-se a demonstração.
A topologia quociente em $X / \sim$, como apresentada nesta seção, é definida precisamente de modo a valer a seguinte proposição.
Proposição
Sejam $\sim$ uma relação de equivalência sobre um espaço topológico $X$ e $X / \sim$ o respectivo espaço quociente. Então, valem:
1) A aplicação quociente $\pi: X \to X / \sim$ é contínua;
2) Considere uma aplicação contínua $f: X \to Y$ tal que, para quaisquer $x, y \in X$, com $x \sim y$, tem-se $f(x) = f(y)$. Então, existe uma única aplicação contínua $\overline{f}: X / \sim \ \to Y$ tal que o diagrama
comuta, isto é, $\overline{f} \circ \pi = f$.
Demonstração: Seja $V \subset X / \sim$ um aberto em $X / \sim$. Logo, pela construção da topologia de $X / \sim$, temos que $\pi^{-1}(V)$ é um elemento de $ \tau$, provando a continuidade de tal aplicação. Considere agora dois pontos $x , y$ de $X$, tais que $x \sim y$ e defina uma aplicação $\overline{f}: X / \sim \ \to Y$ pondo $\overline{f}([x]) = f(x)$. Note que $$(\overline{f} \circ \pi ) (x) = \overline{f}( \pi (x) ) = \overline{f}([x]) = f(x),$$ e é claro que, como $x \sim y$, $$(\overline{f} \circ \pi)(x) = f(x) = f(y) = (\overline{f} \circ \pi) (y).$$ A continuidade de $\overline{f}$ segue da igualdade $\overline{f} \circ \pi = f$. Suponha agora que exista uma outra aplicação contínua $\overline{f_2}$ de forma que $\overline{f_2} \circ \pi = f$. Então, \begin{equation*} \begin{aligned} (\overline{f_2}\circ \pi) (x) &= \overline{f_2} (\pi (x) ) \\ &= \overline{f_2} ([x]) = f(x)\\ &= \overline{f} ([x]), \end{aligned} \end{equation*} mostrando que $\overline{f_2} = \overline{f}$, como queríamos.