Seja $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff localmente compacto. Primeiramente, lembremos que tal espaço é regular. Sabemos que todo espaço Hausdorff e localmente compacto é completamente regular. Veja a demonstração desse fato clicando aqui. Também, todo espaço completamente regular é regular. Veja a demonstração desse fato clicando aqui.

Considere $(O_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de subconjuntos abertos e densos em $X$. Note que para demonstrarmos que $G = \cap_{n \in \mathbb{N}}O_n$ é denso em $X$ é suficiente mostrar que, para todo subconjunto aberto não vazio $U$ de $X$, temos $U \cap G \neq \phi$. Queremos definir por meio de recorrência uma sequência $U_n$ de abertos tais que \begin{equation} \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_n \neq \phi \quad e \quad U \cap G \supset \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_n \end{equation}

Tome $U_1 = U$. Como $O_1$ é denso em $X$, temos $U_1 \cap O_1 \neq \phi$ e, $X$ sendo um espaço regular, existe um aberto não vazio $U_2$ tal que $\overline{U}_2 \subset U_1 \cap O_1$. Suponha já definido um aberto não vazio $U_n$ tal que $\overline{U}_n \subset U_{n - 1} \cap O_{n-1}$. Novamente, $O_n$ sendo denso em $X$, temos $U_n \cap O_n \neq \phi$ e, da regularidade do espaço $X$, existe um aberto $U_{n+1}$ não vazio tal que $\overline{U}_{n+1} \subset U_n \cap O_n$. Portanto, obtemos \begin{equation} U \cap G = U_1 \cap \bigcap_{n \in \mathbb{N}}O_n \supset U_1 \cap \bigcap_{n \in \mathbb{N}}(U_n \cap O_n) \supset U_1 \cap \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_{n+1} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_n \end{equation}

Resta-nos mostrarmos que podemos tomar $U_n$ de tal modo que $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_n \neq \phi$. Para isso, como o espaço é localmente compacto, basta tomarmos $U_n$ tal que $\overline{U}_n$ seja compacto.