Um teorema de metrizabilidade
Nesta seção, veremos alguns casos em que podemos concluir que um espaço topológico, sob certas condições adicionais, possui uma métrica associada.Para ser mais preciso, vamos apresentar uma proposição, um corolário (como um resultado relativamente direto da proposição anterior), e um teorema principal.
A proposição que se segue, basicamente nos diz que existe uma métrica no produto enumerável de métricos que induz a topologia produto. Além disso, podemos obter uma métrica completa se cada um dos espaços métricos for completo.
Proposição.
Sejam $((X_n, d_n))_{n\in\mathbb{N}}$ espaços métricos tais que cada $d_n$ é limitado por 1. Seja $d:\prod_{n\in\mathbb{N}}X_n\times \prod_{n\in\mathbb{N}}X_n\to\mathbb{R}$ dada por
$$d((x_n)_{n\in\mathbb{N}}, (y_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\dfrac{d_n(x_n, y_n)}{2^{n+1}}.$$
Então nós temos:
A. $d$ é uma metrica sobre $\prod_{n\in\mathbb{N}}X_n$. Demonstração
B. $d$ induz a topologia produto sobre $\prod_{n\in\mathbb{N}}X_n$. Demonstração
C. Se cada $d_n$ for completa, então $d$ é completa.Demonstração
Corolário
Existe uma métrica completa sobre $[0, 1]^{\mathbb{N}} =\prod_{n\in\mathbb{N}}[0, 1]$ que induz a topologia produto deste espaço.
Demonstração. Segue diretamente da proposição anterior e do fato de $[0, 1]$ com a métrica usual ser completo.
Teorema
Seja $(X, \tau)$ um espaço $T_1$. As seguintes afirmações são equivalentes:
(i) $X$ é $T_3$, e tem uma base enumerável;
(ii) $X$ é separável e metrizável;
(iii) $X$ é homeomorfo a um subespaço de $[0, 1]^{\mathbb{N}}$ (com topologia produto).Demonstração