Subespaço topológico
Fixado um espaço topológico $(X, \tau)$, dizemos que $Y \subset X$ é um subespaço de $X$ se a topologia adotada em $Y$ é dada por \[\sigma = \{A \cap Y: A \in \tau\}\] Note que, $\sigma$ é de fato uma topologia.
Propriedades herdadas
Dizemos que uma propriedade P de um espaço topológico $X$ é herdada se, e somente se, todo subespaço de $X$ também possui a propriedade P.
As seguintes propriedades são herdadas nos subespaços:
- Satisfazer o axioma $T_0$
- Satisfazer o axioma $T_1$
- Satisfazer o axioma $T_2$ (ser de Hausdorff)
- Satisfazer o axioma $T_3$
- Satisfazer o primeiro axioma de enumerabilidade Demonstração
Propriedades não herdadas
As seguintes propriedades não necessariamente são herdadas por subespaços:
- Ser separável - por exemplo o plano de Niemytski Demonstração.