Proposição 1
Seja $X=\mathbb{N}\cup\{a\}$ compacto Hausdorff tal que $\mathbb{N}$ tem a topologia discreta como subespaço e $\overline{\mathbb{N}}=X$. Então $X$ é homeomorfo ao espaço da sequência convergente $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$.
Demonstração. Defina $f\colon\mathbb{N}\cup\{\infty\}\to\mathbb{N}\cup\{a\}$ por $f(n)=n$ e $f(\infty)=a$. Pela Proposição 2.1.10 das notas, segue que $f$ é contínua, já que a sequência $(n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge para $\infty\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$. Além disso, $f^{-1}$ é dada por $f^{-1}(n)=n$ e $f^{-1}(a)=\infty$, e também é contínua, já que $f^{-1}$ é trivialmente contínua em $\mathbb{N}\subset\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ e sequencialmente contínua em $\infty$, o que implica que $f$ é contínua em $\infty$, pois $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ possui bases localmente enumeráveis e isto implica a equivalência entre continuidade e continuidade por sequências).
Proposição 2
O mapa $f\colon\mathbb{N}\to[0,1]$ definido por
$$
f(n)
\overset{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0 &\text{se $n$ é par,}\\
1 &\text{se $n$ é ímpar}
\end{cases}
$$
para todo $n\in\mathbb{N}$ não admite extensão contínua para $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$.
Demonstração. Pela Proposição 2.1.10 das notas, um mapa $F\colon\mathbb{N}\cup\{\infty\}\to[0,1]$ é contínuo se e somente se $F(n)\to F(\infty)$. Mas a sequência $(f(n))_{n\in\mathbb{N}}$ não converge quando $f(n)=0$ para $n$ par e $f(n)=1$ para $n$ ímpar. Portanto não existe mapa contínuo $F\colon\mathbb{N}, \cup\{\infty\}\to[0,1]$ com $F|_{\mathbb{N}}=f$, i.e. $f$ não pode ser extendido à $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$.
Proposição 3
O espaço $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ não é a compactificação de Stone–Čech de $\mathbb{N}$.
Demonstração. A propriedade universal de $\beta\mathbb{N}$ requer que todo mapa de $\mathbb{N}$ para um compacto Hausdorff $K$ fatore unicamente por $\beta\mathbb{N}$. No entanto, $K=\mathbb{N}$ é compacto e Hausdorff, mas o mapa $f$ da Proposição 2 não admite uma extensão $F$ para $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ fatorando $f$.