Compactificação de Stone–Čech
Seja $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff. Dizemos que $(Y,\sigma)$ é uma compactificação de $(X,\tau)$ se $(Y,\sigma)$ é compacto, Hausdorff e $(X,\tau)$ é homeomorfo a um subespaço $A\subset Y$ denso em $Y$. Note que, nesse caso, $Y$ é completamente regular, pois um espaço de Hausdorff compacto é normal (ver Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos). Isso implica que \(A\subset Y\) é completamente regular, e por homeomorfismo, $X$ é completamente regular. Portanto, um espaço que admite uma compactificação é completamente regular.
Mostraremos que todo espaço completamente regular admite uma compactificação natural que possui uma importante propriedade de extensão de funções contínuas.
Seja $(X,\tau)$ é um espaço completamente regular e $\mathcal{F}:=\{f:X\rightarrow [0,1] \, | \, f \, \text{é contínua}\}$. Então segue do Teorema da Imersão que $\Delta:X \rightarrow [0,1]^\mathcal{F}$, dado por $\Delta (x)=(f(x))_{f\in \mathcal{F}}$, é uma imersão, com inversa $\Delta^{-1}: \Delta X \rightarrow X$. Então $X\simeq \Delta X=\{(f(x))_{f\in \mathcal{F}}: \, x\in X\} \subset [0,1]^\mathcal{F}$.
Definição 1: Seja $(X,\tau)$ completamente regular. Defina $\beta X:= \overline{\{(f(x))_{f\in \mathcal{F}}: \, x\in X\}}\subset [0,1]^\mathcal{F}$ tomando o fecho na topologia de $[0,1]^\mathcal{F}$. O espaço topológico $\beta X$ é chamado compactificação de Stone–Čech de $(X,\tau)$.
Vamos mostrar a seguir que esse espaço é de fato uma compactificação de $(X,\tau)$ e exibir uma propriedade essencial sobre o mesmo.
Teorema 2:
Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular e $\beta X$ sua compactificação de Stone–Čech. Então:
- $\beta X$ é um compacto de Hausdorff e $X$ é homeomorfo a um subespaço denso de $\beta X$.
- Para toda $f:X\rightarrow [0,1]$ contínua, existe $\tilde{f}:\beta X \rightarrow [0,1]$ contínua que estende $f \circ \Delta^{-1}: \Delta X \rightarrow [0,1]$
Observe que podemos identificar $X$ como subespaço de $\beta X$ e dizer que $\tilde{f}:\beta X \rightarrow [0,1]$ é uma extensão da função $f:X \rightarrow [0,1]$.
Vamos provar que essas duas propriedades caracterizam a compactificação de Stone–Čech a menos de homeomorfismos. Primeiro veremos que um espaço $Y$ satisfazer as propriedades (1) e (2) permite que as funções contínuas $f:X \rightarrow K$ sejam estendidas continuamente para o espaço $Y$, desde que $K$ seja um compacto de Hausdorff.
Proposição 3:
Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular e $Y$ um compacto de Hausdorff tal que $X$ é homeomorfo a um subespaço denso de $Y$ (pelo homeomorfismo $\Phi:X\rightarrow \Phi(X)\subset Y$). Suponha que para toda função $f:X \rightarrow [0,1]$ contínua, existe $\tilde{f}:Y\rightarrow [0,1]$ extensão contínua de $f\circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow [0,1]$. Então para toda função contínua $f:X\rightarrow K$, com $K$ compacto Hausdorff, vale que existe $\tilde{f}:Y\rightarrow K$ contínua que estende $f\circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow K$.
E por fim temos a caracterização da compactificação de Stone–Čech a partir de extensão de funções contínuas.
Teorema 4:
Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular e $(Y,\sigma)$ um espaço topológico compacto e Hausdorff tal que $(X,\tau)$ é homeomorfo a um subespaço denso de $(Y,\sigma)$ (pelo homeomorfismo $\Phi:X\rightarrow \Phi(X)\subset Y$. Suponha também que para toda $f:X\rightarrow [0,1]$ contínua, existe $\tilde{f}:Y\rightarrow [0,1]$ que estende $f \circ \Phi^{-1}: \Phi (X) \rightarrow [0,1]$. Então $Y$ é homeomorfo a $\beta X$.
Veja também: Compactificação para espaços localmente compactos.