Primeiramente, note que a reta de Sorgenfrey é $T_1$. Sejam $F,G \subset \mathbb{R}$ fechados disjuntos. Para cada $a \in F$, seja $x(a) \in \mathbb{R}$ tal que $$[a,x(a)[\, \cap\, G = \emptyset.$$ Perceba que podemos tomar tal $x(a)$ pois $a \in \mathbb{R} \setminus G$ e $\mathbb{R}\setminus G$ é aberto. Analogamente, para cada $b \in G$, seja $y(b) \in \mathbb{R}$ tal que $$[b,y(b)[\, \cap\, F = \emptyset.$$ Defina $$A = \bigcup_{a\in F}[a,x(a)[ \quad \text{e} \quad B = \bigcup_{b\in G}[b,y(b)[.$$ Note que $A$ e $B$ são abertos, pois são uniões de abertos, e $F \subset A$ e $G \subset B$. Para mostrar que a reta de Sorgenfrey é normal, resta mostrar que $A \cap B = \emptyset$. Para isto, suponha por absurdo que não, isto é, existe $c \in A \cap B$. Desta forma, existem $a\in F$ e $b \in G$ tais que $c \in [a,x(a)[\, \cap\, [b,y(b)[$.

• Se $a<b$, então $x(a) < b$, pois, como $b\in G$, $b \notin [a,x(a)[$. Portanto, $[a,x(a)[\, \cap\, [b,y(b)[ = \emptyset$, o que é um absurdo.
• Se $b<a$, obtém-se uma contradição de maneira análoga.
• Se $a=b$, então $F\cap G \neq \emptyset$, o que também é um absurdo.