Sequências convergentes
Definição
Consideremos $(X, \tau)$ um espaço topológico. Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de pontos de $X$. Dizemos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge para $x \in X$ se, para todo aberto $V$ contendo $x$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $x_n \in V$, para todo $n \geq n_0$.
- A definição acima permanece equivalente se trocarmos aberto por vizinhança, bastando notar que toda vizinhança de $x \in X$ contém um aberto que contém $x$. Além disso, podemos usar a desigualdade estrita para definir sequências convergentes, obtendo novamente uma definição equivalente.
- Se quisermos dizer que uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge para $x \in X$, então escreveremos $x_n \rightarrow x$.
Exemplos
- A sequência $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge para $0$ em $\mathbb{R}$. Demonstração
- Na topologia discreta, as sequências convergentes são as sequências quase constantes, ou seja, as sequências $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tais que existem $x \in X$ e $n_0 \in \mathbb{N}$, onde $x_n=x$, para todo $n \geq n_0$. Demonstração
- Sejam $X=\mathbb{N} \cup \lbrace a \rbrace$, onde $a \notin \mathbb{N}$, e $\tau=P(\mathbb{N}) \cup \lbrace \mathbb{N}\cup \lbrace a \rbrace \rbrace$. Então, qualquer sequência em $X$ é convergente e converge para $a$. Demonstração
- A partir do último exemplo, podemos perceber que, em geral, não é verdade que uma sequência converge para um único ponto. Neste exemplo, se tomarmos uma sequência constante $x_n=m \in \mathbb{N}$, para todo $n \in \mathbb{N}$, então $x_n \to m$ e $x_n \to a$.
- Em Espaços de Hausdorff toda sequência convergente converge para um único ponto.