Compacidade e axiomas de separação
A principal propriedade que abordaremos é que em Espaços de Hausdorff, os subespaços compactos de um espaço compacto consistem exatamente nos subconjuntos fechados deste espaço. No entanto, em geral, os subconjuntos fechados de um compacto são compactos, como veremos a seguir.
Proposição
Seja $(X,\tau)$ espaço compacto e seja $F \subset X$ fechado. Então $F$ é compacto. Demonstração
- É fácil perceber que o resultado anterior é verdade apenas se o espaço base for compacto, tendo em vista que o espaço base é sempre fechado.
- Em geral, não é verdade que subespaços compactos de espaços compactos são fechados. Exemplo
Como Espaços de Hausdorff separam pontos de compactos, então, neste caso, os subespaços compactos de espaços compactos são fechados.
Proposição
Sejam $(X, \tau)$ um espaço compacto de Hausdorff e $F \subset X$ um conjunto. Então, $F$ é fechado se, e somente se, $F$ é compacto. Demonstração
Também, como Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos, então, em espaços compactos, basta a propriedade de Hausdorff para termos a normalidade.
Proposição
Todo espaço compacto de Hausdorff é normal. Demonstração