Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos
Antes de provarmos tal resultado, vejamos que, se um espaço é de Hausdorff, então ele separa pontos de compactos.
Lema
Seja $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff. Sejam $x \in X$ e $K \subset X$ compacto tal que $x \notin K$. Então existem $A$ e $B$ abertos tais que $ x \in A$ e $K \subset B$ e $A \cap B= \emptyset$. Demonstração
O lema anterior é um caso particular do resultado desejado, tendo em vista que quaisquer espaço topológico finito é compacto.
Proposição
Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff. Sejam $F,G \subset X$ compactos disjuntos. Então existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A$ e $G \subset B$. Demonstração