Seja $(X,\tau)$ um espaço regular. Para todos $a,b\in X$ tais que $a\neq b$, tome $x=a$ e $A=\{b\}$. Por hipótese, $(X,\tau)$ é $T_1$, logo $A$ é fechado. Além disso, como $(X,\tau)$ é $T_3$, existem $U,V\in \tau$ tais que $x=a\in U$ e $A\subset V\Rightarrow b\in V$. Por definição, $U\cap V = \emptyset$. Isto é, quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. $\blacksquare$