Se $(X,\tau)$ é um espaço regular que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então $(X,\tau)$ é um espaço normal.

Demonstração

Sejam $F,G\subset X$ fechados disjuntos e $\mathcal{B}$ base enumerável para $X$.

Como $(X,\tau)$ é $T_3$, existe $\mathcal{F}$ família de abertos tal que $F\subset\bigcup_{A\in\mathcal{F}}A$ e $G\cap\bigcup_{A\in\mathcal{F}}\overline{A}=\emptyset$. De fato, seja $f\in F$. Segue de $T_3$ que existe $A_f$ aberto tal que $f\in A_f$ e $\overline{A_f}\cap G=\emptyset$. Basta tomar $\mathcal{F}=\{A_f:f\in F\}$. Analogamente, existe $\mathcal{G}$ família de abertos tal que $G\subset\bigcup_{A\in\mathcal{G}}A$ e $F\cap\bigcup_{A\in\mathcal{G}}\overline{A}=\emptyset$.

Considere o conjunto $\mathcal{V}=\{V_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathcal{B}$ tal que $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}V_n=\bigcup_{A\in\mathcal{F}}A$. Analogamente, seja $\mathcal{W}=\{W_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathcal{B}$ tal que $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}W_n=\bigcup_{A\in\mathcal{G}}A$. Note que $\mathcal{V},\mathcal{W}$ são, de fato, enumeráveis porque $\mathcal{B}$ é enumerável. Ademais, pela construção de $\mathcal{F},\mathcal{G}$, temos $\overline{V_n}\cap G=\emptyset$ e $\overline{W_n}\cap F=\emptyset$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Agora defina, para cada $n\in\mathbb{N}$, $V_n^*=V_n\backslash\bigcup_{k\le n}\overline{W_k}$ e $W_n^*=W_n\backslash\bigcup_{k\le n}\overline{V_k}$. Perceba que $V_n,W_n\in\mathcal{B}$ são abertos e $\overline{W_n},\overline{V_n}$ são fechados, logo, $V_n^*,W_n^*$ são abertos.

Sejam $V=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}V_n^*$ e $W=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}W_n^*$. Segue que $V,W$ são abertos. Como $\overline{W_n}\cap F=\emptyset$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e, pela construção de $\mathcal{V}$, $F\subset\bigcup_{n\in\mathbb{N}}V_n$, temos $F\subset V$. Analogamente, $G\subset W$.

Afirmamos que $V\cap W=\emptyset$. De fato, suponha que não: então existe $x\in V\cap W$. Logo existem $n,m\in\mathbb{N}$ tais que $x\in V_n^*$ e $x\in W_m^*$. Suponha, sem perda de generalidade, $n\le m$. Como $x\in W_m^*=W_m\backslash\bigcup_{k\le m}\overline{V_k}$, em particular, $x\not\in\overline{V_n}$. Mas $\overline{V_n}\supset V_n\supset V_n^*$ (para a segunda inclusão retome a definição de $V_n^*$). Com isso, $x\not\in V_n^*$, contradizendo a hipótese.

Concluimos que, dados $F,G$ fechados disjuntos, existem $V\supset F$ e $W\supset G$ abertos disjuntos, ou seja, \((X,\tau)\) é $T_4$. Ademais, sua regularidade implica $T_1$, de modo que \((X,\tau)\) é normal.