Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular e $(Y,\sigma)$ um espaço topológico compacto e Hausdorff tal que $(X,\tau)$ é homeomorfo a um subespaço denso de $(Y,\sigma)$ (pelo homeomorfismo $\Phi:X\rightarrow \Phi(X)\subset Y$). Suponha também que para toda $f:X\rightarrow [0,1]$ contínua, existe $\tilde{f}:Y\rightarrow [0,1]$ que estende $f \circ \Phi^{-1}: \Phi (X) \rightarrow [0,1]$. Então $Y$ é homeomorfo a $\beta X$.

Prova: Sabemos pelo teorema 2 e pela última proposição que $X\simeq \Delta X$, $\overline{\Delta X}=\beta K$, e que para toda $f:X\rightarrow K$ contínua, existe $\tilde{f}:\beta K \rightarrow K$ que estende $f\circ \Delta^{-1}: \Delta X \rightarrow X$, para qualquer $K$ compacto de Hausdorff. Da mesma forma, $X\simeq \Phi(X)$, $\overline{\Phi(X)}=Y$, e para toda $f:X\rightarrow K$ contínua, existe $\tilde{f}:Y\rightarrow K$ que estende $f\circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow K$, com $K$ compacto e de Hausdorff.

Então, como $Y$ é compacto e de Hausdorff, temos que $\Phi:X\rightarrow Y$ admite uma função contínua $\tilde{\Phi}:\beta X \rightarrow Y$ que estende $\Phi \circ \Delta^{-1}: \Delta X \rightarrow Y$. Analogamente, $\Delta: X\rightarrow \beta X$ admite uma função contínua $\tilde{\Delta}:Y\rightarrow \beta X$ que estende $\Delta \circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow Y$. Note que $\tilde{\Phi} \circ \tilde{\Delta}:Y\rightarrow Y$ e $\tilde{\Delta} \circ \tilde{\Phi}:\beta X \rightarrow \beta X$ são contínuas.

Se $z\in \Phi(X)$, $\tilde{\Phi} \circ \tilde{\Delta}(z)= \tilde{\Phi}(\tilde{\Delta}(z))= \tilde{\Phi}(\Delta \circ \Phi^{-1}(z))=(\Phi \circ \Delta^{-1})(\Delta \circ \Phi^{-1}(z))=z$, onde na penúltima igualdade usamos que $\Delta \circ \Phi^{-1}(z) \in \Delta X$. Então $\tilde{\Phi} \circ \tilde{\Delta}: Y\rightarrow Y$ é a identidade em $\Phi(X)$, que é denso em $Y$. Logo $\tilde{\Phi} \circ \tilde{\Delta}: Y\rightarrow Y= Id_Y$. Analogamente, $\tilde{\Delta} \circ \tilde{\Phi}:\beta X \rightarrow \beta X= Id_{\beta X}$.

Logo $\tilde{\Delta}: Y\rightarrow \beta X$ é contínua, bijetora e tem inversa $\tilde{\Phi}$, também contínua. Daí segue que $Y$ e $\beta X$ são isomorfos. Isso completa a prova.