Propriedades Básicas do Produto
As primeiras propriedades sobre produto de espaços topológicos referem-se ao comportamento dos conjuntos abertos e fechados. De fato, o produto de fechados é fechado, conforme estabelece a proposição a seguir.
Proposição
Seja $\{ (X_\alpha, \tau_\alpha) \}_{\alpha\in A}$ uma família de espaços topológicos, tome para cada $\alpha \in A$, um conjunto fechado $F_\alpha \subset X_\alpha$. Então $\prod_{\alpha\in A} F_\alpha$ é fechado no espaço $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$.
Poderíamos tentar enunciar uma proposição análoga para conjuntos abertos, entretanto, isso não ocorre.
O produto de conjuntos abertos, em geral, não resulta em um conjunto aberto. Exemplo
Os axiomas de separação ($T_0$, $T_1$, $T_2$ e $T_3$) se comportam bem em relação ao produto, como mostra a próxima proposição.
Proposição
Dado $i \in \{0,1,2,3\}$, seja $\{ (X_\alpha, \tau_\alpha) \}_{\alpha\in A}$ uma família de espaços topológicos tal que cada $X_\alpha$ é $T_i$. Então o espaço produto $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ também é $T_i$.