Propriedades de Compactos

• Mostre que, com a topologia usual, $\mathbb{R}$ não é compacto.

• Mostre que a reta de Sorgenfrey não é compacta.

Verificar a compacidade pela definição muitas vezes é trabalhoso, o resultado dado no exercício a seguir nos ajudará a fazer isso de uma maneira mais simples:

• Seja $(X,\tau)$ espaço compacto e $F\subset X$ fechado. Mostre que $F$ é compacto.

Se um espaço é de Hausdorff, ele separa pontos de compactos.

• Seja $(X, \tau)$ um espaço de Hausdorff. Sejam $x\in X$ e $K\subset X$ compacto tal que $x\notin K$. Mostre que existem $A$ e $B$ abertos tais que $x\in A$, $K\subset B$ e $A\cap B=\emptyset$.

• Uma implicação do resultado anterior é que, em espaços de Hausdorff, os compactos são fechados. Sejam $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff e $F\subset X$ compacto, prove que $F$ é fechado.

De acordo com o que foi demonstrado nos itens anteriores, observe que, seja $(X,\tau)$ um espaço compacto de Hausdorff e $F\subset X$ um conjunto. Então, $F$ é fechado se, e somente se, $F$ é compacto.

• Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff e $F, G\subset X$ compactos disjuntos. Mostre que existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $F\subset A$ e $G\subset B$, isto é, que espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos.

• Mostre que todo espaço compacto de Hausdorff é normal.

Vejamos, a seguir, um resultado muito importante sobre a compacidade: ela é preservada pela continuidade.

• Sejam $(X,\tau)$, $(Y,\sigma)$ espaços topológicos onde $X$ é compacto e $f:X\to Y$ uma função contínua. Prove que:
  • Se $f$ é sobrejetora, então $Y$ é compacto.
  • Se $(X,\tau)$, $(Y,\sigma)$ são espaços de Hausdorff e $f$ é bijetora, então é um homeomorfismo.

• Mostre que $[0,1]$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}$.

• Sejam $(X,\tau)$, $(Y,\sigma)$ espaços topológicos, sendo $Y$ espaço de Hausdorff e $f:X\to Y$ uma função contínua. Mostre que se $F\subset X$ é compacto, então $f[F]$ é fechado.

• Seja $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff. Mostre que:
  • Se $X$ é compacto, então $X$ é localmente compacto.
  • $X$ ser localmente compacto não implica em $X$ ser compacto.

• Seja $(X,\tau)$ espaço de Hausdorff. Mostre que $(X,\tau)$ é localmente compacto se, e somente se, para todo $x\in X$ existe $V$ aberto tal que $x\in V$ e $\overline{V}$ é compacto.

• Seja $(X,\tau)$ Hausdorff. Mostre que $X$ é localmente compacto se, e somente se, para cada $x\in X$ existe $\mathcal{V}$ sistema fundamental de vizinhanças para $x$ tal que $\overline{V}$ é compacto para cada $V\in\mathcal{V}$.

• Seja $(X,\tau)$ Hausdorff. Mostre que $X$ é localmente compacto se, para todo $x\in X$ existe $K$ vizinhança compacta de $x$.

• Mostre que a reta de Sorgenfrey não é localmente compacta

Para espaços espaços de Hausdorff, a compacidade implica na normalidade. Para espaços localmente compactos, é possível garantir a propriedade de ser completamente regular.

• Prove que, se $(X,\tau)$ é um espaço localmente compacto de Hausdorff, então é completamente regular.

• Seja $(X,\tau)$ espaço topológico de Hausdorff que admite compactificação. Mostre que $(X,\tau)$ é completamente regular.
• Considere $(X,\tau)$ espaço localmente compacto. Defina $Y=X\cup\{x\}$ onde $x\notin X$. Defina $\sigma$ topologia sobre $Y$ de forma que $\tau\subset\sigma$ e todo $\{x\}\cup(X\setminus K)\in\sigma$ onde $K\subset X$ é compacto. Mostre que $(Y,\sigma)$ é uma compactificação de Alexandroff de $X$.
• Seja $(X,\tau)$ espaço de Hausdorff e suponha que exista $(Y,\sigma)$ compactificação de Alexandroff para $X$. Mostre que $(X,\tau)$ é localmente compacto.
• Conclua que um espaço de Hausdorff é localmente compacto se, e somente se, admite uma compactificação de Alexandroff.

• Mostre que o conjunto das funções contínuas de suporte compacto é denso em $\mathcal{F}$.