$\left(i=0\right)$ Sejam $x = (x_\alpha)_{\alpha\in A}$ e $y = (y_\alpha)_{\alpha\in A}$ tais que $x \neq y$, então para algum $\beta \in A$, $x_\beta \neq y_\beta$. Como $X_\beta$ é $T_0$, existe, sem perda de generalidade, um aberto $A \subset X_\beta$ tal que $x_\beta \in A$ e $y_\beta \notin A$. Deste modo, o conjunto $V = \pi_\beta^{-1} (A)$ é um aberto do espaço produto tal que $x \in V$ e $y \notin V$, pois $\pi_\beta(x) = x_\beta$ e $\pi_\beta(y) = y_\beta$.

$\left(i=1\right)$ É suficiente provar que todo conjunto unitário é fechado (veja Espaços $T_1$). Dado $x = (x_\alpha)_{\alpha\in A}$, podemos escrever $\{x\} = \prod_{\alpha\in A} \{x_\alpha\}$, mas como cada $X_\alpha$ é $T_1$, segue que todo conjunto $\{ x_\alpha\}$ é fechado, portanto, o produto também é fechado.

$\left(i=2\right)$ Tome $x=(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ e $y=(y_\alpha)_{\alpha\in A}$ tais que $x \neq y$, então deve existir $\beta \in A$ tal que $x_\beta \neq y_\beta$, com $x_\beta, y_\beta \in X_\beta$. Como $X_\beta$ é $T_2$, devem existir abertos $U,V \in \tau_\beta$ tais que $U \cap V = \varnothing$, $x_\beta \in U$ e $y_\beta \in V$. Veja que os conjuntos $\pi_\beta^{-1}(U)$ e $\pi_\beta^{-1}(V)$ são abertos disjuntos do espaço produto (pois $U$ e $V$ são disjuntos) e ambos contém $x$ e $y$, respectivamente ($\pi_\beta(x) = x_\beta \in U$ e $\pi_\beta(y) = y_\beta \in V$), portanto, o produto é $T_2$.

$\left(i=3\right)$ Tome $x = (x_\alpha)_{\alpha\in A}$, vamos provar que para todo aberto $V \ni x$ existe um aberto $W$ tal que $x \in W \subset \overline{W} \subset V$ (isso é suficiente, veja Espaços $T_3$). Podemos supor que $V$ é um aberto básico, pois se provarmos que existe tal $W$ para o aberto básico, ele também servirá para o aberto no qual o aberto básico está contido. Dessa forma, $V = \prod_{\alpha \in A} V_\alpha$, onde cada $V_\alpha \subset X_\alpha$ é aberto e com o conjunto $\{ \alpha \in A: V_\alpha \neq X_\alpha \}$ como suporte. Para cada $\alpha$ no suporte, $x_\alpha \in V_\alpha$, e como $X_\alpha$ é $T_3$, existe $W_\alpha$ tal que $x_\alpha \in W_\alpha \subset \overline{W_\alpha} \subset V_\alpha$. Considere agora o conjunto $W=\prod_{\alpha\in A} W_\alpha^*$ onde $W_\alpha^* = \overline{W_\alpha}$ para $\alpha$ no suporte e $W_\alpha^* = X_\alpha$ para $\alpha$ fora do suporte. Cada $W_\alpha^*$ é fechado, portanto, $W$ é fechado também, de acordo com a proposição acima. Além disso, $x \in W = \overline{W} \subset V$, então o produto é $T_3$.