Se $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ são espaços de Hausdorff, então $X\times Y$ é espaço de Hausdorff.

Demonstração

Sejam $(a,b)\neq(x,y)\in X\times Y$. Suponha, sem perda de generalidade, $x\neq a$. Como $(X,\tau)$ é espaço de Hausdorff, existem $U,V\in\tau$ disjuntos tais que $a\in U, x\in V$. Mas $(a,b)\in U\times Y, (x,y)\in V\times Y$ e $U\times Y, V\times Y$ são abertos disjuntos. Logo $X\times Y$ é espaço de Hausdorff.