Se $\mathcal{B_1}$ e $\mathcal{B_2}$ são bases para $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$, respectivamente, então $\mathcal{B}=\{B_1\times B_2:B_1\in\mathcal{B_1},B_2\in\mathcal{B_2}\}$ é base para $X\times Y$.

Demonstração

Note que $\{(A\times B):A\in\tau,B\in\sigma\}$ é base para $X\times Y$. Sejam $V$ aberto de $X\times Y$ e $(x, y)\in V$. Segue que existem $A\subset X, B\subset Y$ abertos tais que $(x,y)\in (A\times B)\subset V$. Como $\mathcal{B_1}$ e $\mathcal{B_2}$ são bases para $X$ e $Y$, respectivamente, existem $B_1\in\mathcal{B_1},B_2\in\mathcal{B_2}$ tais que $x\in B_1\subset A$ e $y\in B_2\subset B$. Então $(x,y)\in (B_1\times B_2)\subset (A\times B)\subset V$. Logo $\mathcal{B_1}\times\mathcal{B_2}$ é base para $X\times Y$.