Fixemos $(a_{\alpha})_{\alpha \in A} \in \prod_{\alpha \in A} X_{\alpha}$ . Inicialmente, vejamos que caso $F \subset A$ seja finito, então $D_F=\lbrace (b_{\alpha})_{\alpha \in A} \in \prod_{\alpha \in A} X_{\alpha}: b_{\alpha}=a_{\alpha}, \; se \; \alpha \notin F \rbrace$ é homeomorfo a $\prod_{\alpha \in F} X_{\alpha}$ e portanto $D_F$ é conexo, pois o produto finito de conexos é conexo. Considere $F=\lbrace \alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n \rbrace$, então podemos escrever $\prod_{\alpha \in F} X_{\alpha}= \prod_{i=1}^n X_{\alpha_i}$. Consideremos $\varphi: D_F \to \prod_{i=1}^n X_{\alpha_i}$ dada por $\varphi((b_{\alpha})_{\alpha \in A})=(b_{\alpha_1},\ldots,b_{\alpha_n})$. Se $E_{\alpha_1},\ldots,E_{\alpha_n}$ são abertos em $X_{\alpha_1},\ldots,X_{\alpha_n}$, respectivamente, então $\varphi^{-1}(\prod_{i=1}^n E_{\alpha_i})=D_F \cap (\prod_{\alpha \in A} Y_{\alpha})$, onde $Y_{\alpha}= E_{\alpha}$, se $\alpha \in F$ e $Y_{\alpha}=X_{\alpha}$ caso contrário. Logo $\varphi^{-1}(\prod_{i=1}^n E_{\alpha_i})$ é aberto em $D_F$ e $\varphi$ é contínua. É fácil ver que $\phi: \prod_{i=1}^n X_{\alpha_i} \to D_F$ dada por $\phi((b_{\alpha_1},\ldots,b_{\alpha_n}))=(c_{\alpha})_{\alpha \in A}$, onde $c_{\alpha}=b_{\alpha}$, para $\alpha \in F$ e $c_{\alpha}=a_{\alpha}$ caso contrário, é a inversa de $\varphi$. Além disso, $\phi^{-1}(D_F \cap (\prod_{\alpha \in A} Y_{\alpha}))$, onde $Y_{\alpha}= E_{\alpha} \subset X_{\alpha}$, se $\alpha \in F$ e $Y_{\alpha}=X_{\alpha}$ caso contrário, é igual a $\prod_{i=1}^n E_{\alpha_i}$, que é aberto se $E_{\alpha_i}$ são abertos para cada $i=1,\ldots,n$. Ou seja, $\phi$ é contínua e portanto $\varphi$ é um homeomorfismo. Seja $\mathcal{F} = \lbrace F \subset A: \; F \; é \; finito \rbrace$, então vejamos que $Y:=\bigcup_{F \in \mathcal{F}} D_F$ é denso em $X:=\prod_{\alpha \in A} X_{\alpha}$. Temos trivialmente que $\overline{Y} \subset X$. Por outro lado, dado $x=(x_{\alpha})_{\alpha \in A} \in X-Y$ um ponto qualquer. Seja $U \subset X$ uma vizinhança aberta de $x$. Então, existe um elemento básico $\prod_{\alpha \in A} U_{\alpha}$ tal que $x \in \prod_{\alpha \in A} U_{\alpha} \subset U$, sendo $U_{\alpha} \neq X_{\alpha}$ para uma quantidade finita de índices $\alpha \in K \subset A$. Seja $y=(y_{\alpha})_{\alpha \in A} \in \prod_{\alpha \in A} U_{\alpha}$ um ponto tal que $y_{\alpha}=a_{\alpha}$, para todo $\alpha \in A-K$. Assim, $y \in D_K \subset Y$ e $\overline{Y}=\prod_{\alpha \in A} X_{\alpha}$. Como cada $D_F$ é conexo e $(a_{\alpha})_{\alpha \in A} \in D_F$ para todo $F \in \mathcal{F}$, então $Y$ é conexo. Assim, $Y \subset X$ conexo e $Y \subset X \subset \overline{Y}$, logo $X$ é conexo.