Proposição: Sejam $(X,d)$ e $(Y,d')$ espaços métricos completos. Sejam $F \subset X$ fechado e $A \subset Y$ aberto. Então $F \times A$ é completamente metrizável.

Demonstração: Vamos mostrar que $F \times A$ é aberto em $F \times Y$, logo, como $F \times Y$ é métrico completo(pois é subespaço fechado de $X \times Y$), por essa proposição teremos que $F \times A$ é completamente metrizável. Mas notemos que $F$ é aberto em $F$ e $A$ é aberto em $X$, assim $F \times A$ é aberto e temos o resultado.