Demonstração

Sejam $(X_i)_{i\in I}$ família de espaços conexos por caminhos e $(a_i)_{i\in I},(b_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i$. Como $a_i,b_i\in X_i$, existe $f_i:[0,1]\rightarrow X_i$ contínua com $f_i(0)=a_i$ e $f_i(1)=b_i$, para todo $i\in I$. Considere a função $f:[0,1]\rightarrow\prod_{i\in I}X_i$ tal que $f(x)=(f_i(x))_{i\in I}$ para todo $x\in[0,1]$. Claro que $f(0)=(a_i)_{i\in I}$ e $f(1)=(b_i)_{i\in I}$. Temos cada coordenada $f_i$ contínua, então segue $f$ contínua. Com isso, $\prod_{i\in I}X_i$ é conexo por caminhos.

• Topologia produto