Vamos mostrar os três axiomas de enumerabilidade na topologia produto. Esses axiomas são preservados por produtos enumeráveis, em particular, por produtos finitos.
Proposição 1
Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços que satisfazem o primeiro axioma de enumerabilidade. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também satisfaz esse mesmo axioma. Demonstração
Proposição 2
Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços que satisfazem o segundo axioma de enumerabilidade. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também satisfaz esse mesmo axioma. Demonstração
Proposição 3
Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços separáveis. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também é separável. Demonstração
O próximo resultado é um caso particular da proposição acima.
Proposição 4
Se $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ são separáveis, então $X \times Y$ também é separável. Demonstração
Veja também
* Quando o produto de separáveis é separável? que é uma forma melhorada para provar o produto de separáveis.
* Caso finito
* Motivação, definição geral.
* Propriedades Básicas