Demonstração. (a) Para uma notação mais compacta, podemos escrever $r(x) = \frac{x}{\vert x \vert}$, para cada $x \in X$. Primeiro, observamos que $S^1 \subset X$, então podemos aplicar $r$ nos pontos de $S^1$, além disso, $r$ é bem definida, pois $\vert r(x) \vert = 1$. Se $x \in S^1$, então $\vert x \vert =1$, portanto, $r(x) = x$, isso mostra que $r(x)$ é uma retração. Para mostrar que $r \backsimeq \mathrm{Id}_X$, tomamos a função $H: X \times [0,1] \to S^1$, definida por $H(x,t) = (1-t)x + t \frac{x}{\vert x \vert}$ (sempre é bom lembrar que $x$ é um vetor), a qual é contínua. Veja que $H$ está bem definida, pois $\vert H(x,t) \vert = 1$. Também é visto que $H(x,0) = x = \mathrm{Id}_X(x)$ e $H(x,1) = \frac{x}{\vert x \vert} = r(x)$, então, por definição, $r$ é homotópica a $\mathrm{Id}_X$ e isso prova que $r$ é uma retração de deformação.

(b) Tome a função inclusão $f: S^1 \to X$ e a função $r: X \to S^1$ do item (a). Para todo $x \in S^1$, temos $(r \circ f)(x) = r(x) = x$, pois $\vert x \vert = 1$, assim, $(r \circ f) = \mathrm{Id}_{S^1}$. Da mesma forma, para cada $x \in X$, temos $(f \circ r)(x) = r(x) \backsimeq \mathrm{Id}_X $, pois $r$ é uma retração de deformação. Por definição, segue que $X$ e $S^1$ são homotopicamente equivalentes.