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Partições da unidade
Definição
Uma partição da unidade em $X$ é uma família $(f_{s})_{s\in S}$ de funções contínuas $f_s\colon X\to[0,1]$ tal que, para cada $x\in X$, temos $$ \sum_{s\in S}f_s(x) = 1. $$
Exemplo
A imagem a seguir (Wikimedia Commons) ilustra uma partição da unidade de $S^1$ com quatro funções:
Definição
Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é localmente finita se a coleção $$\left\{f^{-1}_s((0,1])\middle|s\in S\right\}$$ é localmente finita.
Definição
Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é subordinada à uma cobertura $\mathcal{C}$ se para cada $s\in S$, existe $U\in\mathcal{C}$ tal que $f^{-1}_s((0,1])\subset U$.
Lema
Seja $X$ regular tal que toda cobertura aberta de $X$ admite um refinamento localmente finito (não necessariamente aberto/fechado). Então para toda cobertura aberta $\mathcal{U}=\{U_s\}_{s\in S}$ de $X$, existe uma cobertura fechada localmente finita $\mathcal{F}=\{F_s\}_{s\in S}$ de $X$ tal que, para todo $s\in S$, temos $F_s\subset U_s$.
Ideia da demonstração. Tomando $\mathcal{U}$ como no enunciado, podemos formar uma cobertura aberta $\mathcal{W}$ de $X$ tal que $\overline{\mathcal{W}}=\{\overline{W}|W\in\mathcal{W}\}$ refina $\mathcal{U}$. Podemos também construir uma família $\mathcal{A}=\{A_t\}_{t\in T}$ a partir de $\mathcal{W}$ que refina $\mathcal{W}$ e é localmente finita. Defina então $s\colon T\to S$ de forma que $\overline{A_{t}}\subset U_{s(t)}$ (isso é possível pois $\mathcal{A}$ refina $\mathcal{W}$ e $\overline{\mathcal{W}}$ refina $\mathcal{U}$). Definimos então $$ F_s \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{s(t)=s}\overline{A_{t}}. $$