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Partições da unidade
Definição
Uma partição da unidade em $X$ é uma família $(f_{s})_{s\in S}$ de funções contínuas $f_s\colon X\to[0,1]$ tal que, para cada $x\in X$, temos $$ \sum_{s\in S}f_s(x) = 1. $$
Exemplo
A imagem a seguir (Wikimedia Commons) ilustra uma partição da unidade de $S^1$ com quatro funções:
Definição
Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é localmente finita se a coleção $$\left\{f^{-1}_s((0,1])\middle|s\in S\right\}$$ é localmente finita.
Definição
Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é subordinada à uma cobertura $\mathcal{C}$ se para cada $s\in S$, existe $U\in\mathcal{C}$ tal que $f^{-1}_s((0,1])\subset U$.
Lema
Seja $X$ regular tal que toda cobertura aberta de $X$ admite um refinamento localmente finito (não necessariamente aberto/fechado). Então para toda cobertura aberta $\{U_s\}_{s\in S}$ de $X$, existe uma cobertura fechada localmente finita $\{F_s\}_{s\in S}$ de $X$ tal que, para todo $s\in S$, temos $F_s\subset U_s$.