Demonstração. Para cada $x\in\omega_1$, temos $\{x+1\} = ]x, x+2[$ é aberto. É claro que, para $x_1, x_2\in\omega_1$, $x_1\neq x_2$ implica $x_1+1\neq x_2+1$, portanto, a cada elemento $x$ de $\omega_1$ podemos relacionar um aberto unitário distinto $\{x+1\}$ de $\omega_1$. Dessa forma, como $\omega_1$ é não enumerável, o número de abertos unitários de $\omega_1$ será não enumerável. Ademais, é fácil ver que qualquer base de um espaço topológico deve conter todos os seus abertos unitários.

Segue que $\omega_1$ não possui base enumerável.