O jogo de Banach-Mazur
Definição:
Dado um espaço topológico \((X,\tau)\), chamamos de jogo de Banach-Mazur o jogo entre dois jogadores, ALICE e BETO, com as seguintes regras:
- Na rodada 0, ALICE joga \(A_0\) um aberto não vazio. Então BETO joga \(B_0 \subset A_0\) também aberto não vazio.
- Numa rodada \(n\) qualquer, ALICE joga \(A_n \subset B_{n-1}\) aberto não vazio e BETO joga \(B_n \subset A_n\) também aberto não vazio.
- Depois de todas as jogadas, ALICE é declarada vencedora se \(\cap_{n\in\mathbb{N}} A_n = \emptyset\). BETO é declarado vencedor caso contrário.
- Mostre que \(\cap_{n\in\mathbb{N}} A_n = \cap_{n\in\mathbb{N}} B_n \) para todo jogo entre ALICE e BETO.
- Seja \((X, \tau)\) um espaço compacto Hausdorff.
- Seja \(A_0\) a primeira jogada de ALICE. Mostre que BETO pode fazer uma jogada \(B_0\) tal que \(B_0 \subset \overline{B_0} \subset A_0\);
- Numa rodada \(n\) qualquer, mostre que, dada uma jogada \(A_n\) de ALICE, BETO pode fazer uma jogada \(B_n\) tal que \(B_n \subset \overline{B_n} \subset A_n\);
- Conclua que, utilizando a estratégia acima, BETO vence o jogo e, portanto, BETO tem estratégia vencedora para \((X, \tau)\) compacto Hausdorff.
- Suponha que em um espaço topológico \(X\), existam \(V\) aberto não vazio e \((W_n)_{n\in\mathbb{N}}\) abertos densos tais que \(V\cap\bigcap_{n\in\mathbb{N}}W_n = \emptyset\).
- Mostre que \(A_0 = V\cap W_0\) é uma primeira jogada válida para ALICE;
- Mostre que, dada uma resposta \(B_0\) de BETO, então \(A_1 = B_0 \cap W_1\) é uma jogada válida para ALICE;
- Mostre que, jogando \(A_n = B_{n-1}\cap W_n\), ALICE tem estratégia vencedora;
- Conclua que se ALICE não tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur, então \(X\) é um espaço de Baire.
- Seja \(X\) um espaço topológico onde ALICE tenha estratégia vencedora. Seja \(A_0\) a jogada inical de ALICE usando sua estratégia vencedora. Para cada \(B\subset A_0\) aberto não vazio, ALICE deve saber como responder com um aberto \(A_B\) não vazio.
- Seja \(\mathcal{A}_1\) uma subfamília maximal \(\mathcal{F}\) de conjuntos dois a dois disjuntos onde: \[\mathcal{F} = \{A_B : B\subset A_0, B\neq \emptyset \text{ é aberto} \}\] Mostre que \(\cup_{A\in\mathcal{A_1}} A\) é denso em \(A_0\).
- De forma análoga ao caso anterior, para cada \(A\in \mathcal{A_1}\), podemos considerar uma família maximal \(\mathcal{A}_A\) de abertos dois a dois disjuntos dentro de \[\mathcal{F} = \{A_B : B\subset A, B\neq \emptyset \text{ é aberto} \}\] Defina \(\mathcal{A_2} = \bigcup_{A\in\mathcal{A_1}} \mathcal{A}_A\). Mostre que \(\bigcup_{V\in\mathcal{A}_A} V\) é denso em \(A\) e \(\bigcup_{A\in\mathcal{A}_2} A\) é denso em \(A_0\).
- Repetindo o processo acima para \(n\in\mathbb{N}\), conseguimos construir os conjuntos \(W_0 = A_0 \cup (X\backslash \overline{A_0})\) e \(W_n = \bigcup_{A\in\mathcal{A_n}} A\cup (X\backslash\overline{A_0})\). Verifique que \((W_n)_n\) é uma família de abertos densos em \(X\) e mostre que \[A_0 \cap \bigcap_{n\in\mathbb{N}} W_n = \emptyset\].
- Conclua que, se ALICE possui estratégia vencedora, então \(X\) não é espaço de Baire.
Corolário:
O espaço ser de Baire é equivalente a ALICE não possuir estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur.
- Mostre que, se \((X,d)\) é um espaço métrico completo, então BETO possui estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur.
- Mostre que, se BETO tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur tanto em um espaço \(X\) quanto em um espaço \(Y\), então BETO também tem estratégia vencedora no espaço \(X\times Y\).
- Suponha que \(X\) é um espaço de Baire tal que \(X\times X\) não é de Baire. Conclua que nem ALICE nem BETO possuem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur em \(X\).