Sejam $(X,\tau)$ um espaço normal, $x \in X$ qualquer e $F \subset X$ fechado tal que $x\notin F$. Por definição, $(X,\tau)$ é $T_1$ e, portanto, o conjunto unitário $\{x\}$ é fechado. Perceba que, como $x \notin F$, então $\{x\}\cap F = \emptyset$. Como $(X,\tau)$ é $T_4$, existem $A,B \in \tau$ abertos disjuntos tais que $\{x\} \subset A$ (isto é, $x \in A$) e $F \subset B$. Desta forma, $(X,\tau)$ é $T_3$ e, por também ser $T_1$, é espaço regular.