Espaços Métricos Enumeráveis

Essa aula tem um teorema principal, que tem como corolário a classificação dos espaços métricos enumeráveis sem pontos isolados.

Teorema: Se $X$ e $Y$ são espaços $T_0$, zero-dimensionais, sem pontos isolados e com base enumerável, $A$ e $B$ são densos enumeráveis de $X$ e $Y$ respectivamente, então $A$ e $B$ são homeomorfos.

Demonstração: Existem bases enumeráveis $\mathcal A, \mathcal B$ de $X, Y$ respectivamente. Como $X, Y$ são zero-dimensionais, podemos supor que os elementos de $\mathcal A$ e $\mathcal B$ são abertos fechados. Vamos definir os seguintes conceitos:

• $P$ é uma partição de um conjunto $W$ se os elementos de $p$ são par a par disjuntos e sua união é $W$, ou seja se $$W=\bigsqcup_{p\in P} p.$$
• $E\subset W$ é uma escolha para $P$ se para todo $p\in P$ existe um único $x\in E$ tal que $x\in p$.

(Note que essa construção é equivalente ao conjunto quociente $W$ pela relação de equivalência onde dois elementos são equivalentes quando eles estão no mesmo elemento da partição.)

• Para um $w\in W$, definimos $P[w]$ como o único conjunto de $P$ que contém $w$.
• Uma condição é uma tripla $(P,Q,f)$ satisfazendo:

1. $P$ é uma partição finita de $X$ por abertos fechados de $\mathcal A$;
2. $Q$ é uma partição finita de $Y$ por abertos fechados de $\mathcal B$;
3. $f:D\subset A\to B$ onde $D$ é finito;
4. $D$ é escolha de $P$;
5. $\text{Im}(f)$ é escolha de $Q$.

• A condição $(P_2,Q_2, f_2)$ estende $(P_1,Q_1, f_1)$ se:

1. $P_2$ refina $P_1$;
2. $Q_2$ refina $Q_1$;
3. $f_2$ estende $f_1$;
4. Para $x,y\in D$, temos que $x\in P_1[y]$ se e somente se $f_2(x)\in Q_1[y]$.

(A condição dessa figura estende a da figura anterior. A função foi omitida.)

Lema: Fixada uma condição $(P,Q,f)$, existem as seguintes extensões dela:

1. Dado $a\in A$ existe uma condição $(P_2,Q_2,f_2)$ tal que $a\in\text{dom}(f_2)$;
2. Dado $b\in B$ existe uma condição $(P_2,Q_2,f_2)$ tal que $a\in\text{Im}(f_2)$;
3. Dado $a\in \mathcal A$ existe uma condição $(P_2,Q_2,f_2)$ tal que $a$ é união de elementos de $P_2$;
4. Dado $b\in \mathcal B$ existe uma condição $(P_2,Q_2,f_2)$ tal que $b$ é união de elementos de $Q_2$.

O primeiro item pode ser demonstrado assim: se $a\in\text{dom}(f)$, essa própria condição satisfaz o que é pedido, e caso contrário, seja $p\in P$ o elemento da partição que contém $a$ e $e\in\text{dom}(f)$ o elemento do domínio de $f$ que está em $p$. Então podemos particionar $p=p_1\sqcup p_2$ tais que $p_1,p_2$ são abertos fechados e $a\in p_1$ e $e\in p_2$. Colocando $P_2=P\setminus \{p\}\cup \{p_1,p_2\}$ e dividindo o elemento de $Q$ que contém $f(a)$ em dois da mesma forma, obtemos a condição pedida. A demonstração dos outros três itens é bem parecida.

Indexando os conjuntos $\mathcal A=\{\alpha_n:n\in\mathbb N\}$, $\mathcal B=\{\beta_n:n\in\mathbb N\}$, $ A=\{\gamma_n:n\in\mathbb N\}$, $B=\{\delta_n:n\in\mathbb N\}$, o que podemos fazer por que eles são enumeráveis podemos construir indutivamente uma sequência de condições, cada uma estendendo a anterior. Defina $P_0=\{X\}$, $Q_0=\{Y\}$ e $f_0:D_0\to B$ onde $D_0=\{\gamma_0\}$ então $(P_0, Q_0, f_0)$ é uma condição, e para cada $n\in\mathbb N$ podemos construir uma condição $(P_{n+1}, Q_{n+1}, f_{n+1})$ tal que:

1. $(P_{n+1}, Q_{n+1}, f_{n+1})$ estende $(P_n,Q_n, f_n)$;
2. $\gamma_n\in \text{dom}(f_{n+1})$, $\delta_n\in\text{Im}(f_{n+1})$;
3. $\alpha_n$ é a união de elementos de $P_n$ e $\beta_n$ é a união de elementos de $Q_n$.

Finalmente, defina $f:A\to B$ de forma que $f(x)=f_n(x)$ para todo $x\in A$ e $n$ tal que $x\in\text{dom}(f_n)$. Essa função é bem definida, já $f_m$ é uma extensão de $f_n$ para todo $m>n$. Além disso, se $S_1\in\mathcal A$ e $S_2\in\mathcal B$ temos que $f^{-1}[S_2\cap B]=\alpha_n\cap A$ e $f[S_1\cap A]=\beta_m\cap B$ para algum $m,n\in\mathbb N$. Portanto $f$ é um homeomorfismo.

Lema: se além disso, no teorema anterior, $Y$ for compacto, $f$ admite uma única extensão $\hat{f}:X\to Y$ injetora. Se, $X$ também for compacto, $\hat{f}$ é um homeomorfismo.

Demonstração: suponha $Y$ compacto. Pela construção acima, na realidade temos uma função $G:\mathcal A\to\mathcal B$ bijetora tal que $g(S_1)=S_2$ onde $f[S_1\cap A]=S_2\cap B$. Para um $x\in X$ defina

$$T_x=\{g(S):x\in S, S\in\mathcal A\}.$$

Cada $g(S)$ é compacto, então $\bigcap_{H\in T_x} H$ é não vazio por ser interseção do compactos com a propriedade da interseção finita. Além disso, esse conjunto tem somente um ponto, já que $Y$ é $T_0$. Defina então $\hat{f}=y$ onde $\{y\}=\bigcap_{H\in T_x} H$. Essa função é contínua e injetora, e se $X$ for compacto, $\text{Im}(\hat{f})$ também tem que ser. Essa imagem tem que ser o próprio $Y$, já que ela contém o denso $B$.

Corolário: A menos de homeomorfismos, existem um único espaço métrico enumerável sem pontos isolados.

Demonstração: Todo espaço métrico enumerável é zero-dimensional, então basta aplicar o teorema anterior.