Sejam $(X,d)$ um espaço métrico e $F,G \subset X$ fechados disjuntos. Considere a função $f: X \to [0,1]$ dada por $$f(x) = \frac{d(x,F)}{d(x,F)+d(x,G)}.$$ Note que $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}$. Portanto, pelo Lema de Urysohn, $(X,d)$ é $T_4$. Como também é $T_1$, $(X,d)$ é normal.