Estratégia vencedora para o jogo de Banach-Mazur num espaço métrico completo
Definição
Dado um espaço topólogico $(X,\tau)$, o jogo de Banach-Mazur é definido da seguinte forma: sejam $P_1$ e $P_2$ jogadores, de forma que inicialmente $P_1$ escolhe $A_1\in \tau$ não vazio e para todo $n\in \mathbb{N}$, após $P_1$ escolher $A_n$, $P_2$ escolhe $B_n\in \tau$ não vazio e em seguida $P_1$ escolhe $A_{n+1}\in \tau$ não vazio e ambos continuam jogando infinitamente. $P1$ ganha a partida se $\cap_{n\in \mathbb{N}} A_n=\emptyset$ e $P2$ a vence caso contrário.
Exercício
Se $(X,d)$ é um espaço métrico completo e $\tau$ é a topologia induzida por $d$, então $P_2$ tem estratégia vencedora para o jogo de Banach-Mazur.
Solução: Dado $n\in \mathbb{N}$, escolha $b_n\in A_n$ e considere $\bar{B}_{r_n}(b_n)\subset A_n$ com $0<r_n<\frac{1}{n}$. Defina $$B_n:=B_{r_n/2}(b_n)$$ $$C_n:=\bar{B}_{r_n}(b_n)$$ Observe que $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ é de Cauchy; de fato, dado $\varepsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n}<\varepsilon$, então se $n>m\ge n_0$ temos $b_n,b_m\in A_{n_0}$ e logo $$d(b_n,b_m)\le diam(B_{n_0})\le 2\cdot \frac{r_n}{2}<\frac{1}{n}<\varepsilon$$ Assim, como $(X,d)$ é completo, $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge, e seja $b:=\lim_{n\to \infty} b_n$. Verificaremos que $$b\in \cap_{n\in \mathbb{N}} A_n$$ com efeito, se $k\in \mathbb{N}$ temos $b_{n+k}\in B_{k+1}\subset C_{k+1}\subset A_{k+1}\ \forall n\in \mathbb{N}$, e logo $b=\lim_{n\to \infty} b_{n+k}\in C_{k+1}$ pois $C_{k+1}$ é fechado. Portanto $b\in A_{k+1}$ e então $$b\in \bigcap_{n\ge 2} A_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n\ _{\blacksquare}$$