Função máximo de finitas funções contínuas é contínua
Proposição
Sejam \((X, \tau)\) espaço topológico e \(f_1\), …, \(f_n\) funções contínuas com domínio \(X\) e contradomínio \(\mathbb{R}\). Defina \(g:X\rightarrow \mathbb{R}\) por \(g(x)=\text{max}\{f_1(x) \text{, } \ldots \text{, } f_n(x)\}\). Então \(g\) é contínua.
Prova: Basta mostrar que a imagem inversa de um aberto básico é aberta. Seja \((a,b) \subset \mathbb{R}\). Temos:
\(g^{-1}((a,b))=\{x\in X : g(x)\in (a,b)\}=\{x\in X: f_i(x)\in (a,b) \text{ para algum } i \} \bigcap \{x\in X : f_i(x)< b \, \forall \, i \}=\left (\underset{i}{\bigcup} f_i^{-1}((a,b)) \right ) \bigcap \left ( \underset{i}{\bigcap} f_i^{-1}((-\infty, b))\right )\)
Então \(g^{-1}((a,b))\) é aberto.