Compacidade local
Esta noção dá uma ideia parcial de um conjunto compacto, ou seja, que é compacto pelo menos localmente.
Definição
Um espaço topológico $(X,\tau)$ é localmente compacto se todo $x \in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças compactas.
Note que não podemos definir compacidade local dizendo que todo $x \in X$ admite bases locais compactas, pois bases são compostas de abertos e abertos dificilmente serão compactos (somente em casos muito específicos).
Proposição
Se $(X,\tau)$ é um espaço de Hausdorff compacto, então $(X,\tau)$ é localmente compacto. Demonstração
- A volta não é válida, isto é, nem todo espaço localmente compacto é compacto. Exemplo
Embora não é possível garantir a normalidade de espaços localmente compactos de Hausdorff (como foi feito para espaços compactos), conseguimos garantir a propriedade de ser completamente regular:
Proposição
Se $(X,\tau)$ é um espaço de Hausdorff localmente compacto, então é completamente regular. Demonstração