Levantando homotopias

Dado um espaço de recobrimento $ p: \tilde{X} \to X $ podemos nos perguntar se existe uma relação entre as os caminhos de $ X $ e os de $ \tilde{X} $. Um resultado imediato é que para todo caminho $ \tilde{f} $ em $ \tilde{X} $ corresponde um caminho em $ X $ dado por $ p \circ \tilde{f} $ e que essa correspondência preserva homotopias. Nessa página nos concentramos na volta desse resultado, nosso único Teorema nos diz que para cada par de caminhos homotopicos $ f $ e $ g $ em $ X $ corresponde (quase) unicamente caminhos também homotopicos $ \tilde{f} $ e $ \tilde{g} $, que são levantamentos para $ f $ e $ g $, respectivamente.

Vamos, primeiro, provar alguns resultados auxiliares:

Demonstração: De fato, $ \tilde{f}[C] $ é um subconjunto conexo de $ p^{-1}[A] $, já que $ \tilde{f} $ é um levantamento. Logo $ \tilde{f}[C] \subset A_{i} $ pois a família $ \{A_{i}\} $ é de abertos dois a dois disjuntos. $\square$

Demonstração: Por hipótese, $ f[V \cap W] \subset f[W] \subset A $, onde $ A $ é como na definição de espaço de recobrimento. Como, também por hipótese, $ V \cap W $ é conexo existe, pelo Lema 1, $ A_{i} $ tal que $ \tilde{f}[V \cap W] \subset A_{i} $. Seja $ p_{i}: A_{i} \to A $ a restrição de $ p $ ao conjunto $ A_{i} $, então $ p_{i} $ é um homeomorfismo. Dado $ x \in V \cap W $ temos $ p_{i}(\tilde{f}(x)) = f(x) $, pois $ \tilde{f} $ é um levantamento da $ f $, mas, uma vaz que $ p_{i} $ possui uma inversa, obtemos $ \tilde{f}(x) = (p_{i}^{-1} \circ f)(x) $ para todo $ x \in V \cap W $. Segue que a função continua $ g: W \to \tilde{X} $ dada por $ g(x) = (p_{i}^{-1} \circ f)(x) $ coincide com $ \tilde{f} $ em $ V \cap W $, portanto a função

$$ F(x) = \begin{cases} \tilde{f}(x), & \qquad \text{ se } x \in V \\ (p_{i}^{-1} \circ f)(x), & \qquad \text{ se } x \in W \\ \end{cases} $$

está bem definida em todo $ V \cup W $. É fácil ver que $ F $ é um levantamento da função $ f $ e uma extensão continua da função $ \tilde{f} $. $\square$

Demonstração: Para cada $ x \in X $ existe um aberto $ A \subset X $ como na definição de espaço recobrimento tal que $ x \in A $, seja $ \mathcal{C}' $ a coleção de todos esses abertos. Agora, defina $ \mathcal{C} = \{f^{-1}[A] \mid A \in \mathcal{C}'\} $, então $ \mathcal{C} $ é uma cobertura aberta do espaço compacto $ [0,1] \times [0,1] $, seja $ r>0 $ um número de Lebesgue dessa cobertura.

É fácil ver, apesar de não ser tão simples escrever a construção, que existem quadrados $ Q_{1}, \dots, Q_{n} $ abertos com $ y_{0} \in Q_{1} $, que cubram $ [0,1] \times [0,1] $, tenham diâmetro menor que $ r $ e de modo que os conjuntos

$$ \bigg( \bigcup_{i \leqslant j} Q_{i} \bigg) \cap Q_{j+1} $$

sejam não vazios e conexos para todo $ j \geqslant 1 $.

Pelo diâmetro de $ Q_{1} $, existe $ A \in \mathcal{C}' $ tal que $ f[Q_{1}] \subset A $. Seja $ A_{i} $ o aberto homeomorfo a $ A $ via $ p_{i} = p \upharpoonright A_{i} $ tal que $ \tilde{x_{0}} \in A_{i} $., então a função $ f_{1}: Q_{1} \to \tilde{X} $ definida por $ f_{1} = p_{i}^{-1} \circ f $ é um levantamento para $ f \upharpoonright Q_{1} $ que satisfaz $ f_{1}(y_{0}) = \tilde{x}_{0} $.

Agora, suponha que já definimos $ f_{j}: \bigcup_{i \leqslant j} Q_{i} \to \tilde{X} $, $ j < n $. Então, pelo Lema 2, existe $ f_{j+1}: \bigcup_{i \leqslant j+1} Q_{i} \to \tilde{X} $ que seja uma extensão continua da função $ f_{j} $ e um levantamento para a restrição $ f\upharpoonright \bigcup_{i \leqslant j+1} Q_{i} $.

Finalmente, a função $ \tilde{f} = f_{n} $ é um levantamento da função $ f $ que satisfaz $ \tilde{f}(y_{0}) = \tilde{x}_{0} $. Tal levantamento é único, pelo ultimo corolário dessa página. $\square$

De maneira análoga a proposição anterior, podemos provar o seguinte resultado. Ele nos diz que todo caminho em $ X $ pode ser levantado (quase) unicamente para um espaço de recobrimento.

E finalmente, nosso resultado principal:

Demonstração: Pela Proposição 1, temos a existência de um único levantamento $ \tilde{H} $ de $ H $ tal que $ \tilde{H}(y_{0}) = \tilde{x_{0}} $. E por definição temos

$$ p(\tilde{f}) = p(\tilde{H}(\cdot,0)) = H(\cdot,0) = f \qquad \text{ e } \qquad p(\tilde{g}) = p(\tilde{H}(\cdot,1)) = H(\cdot,1) = g, $$

logo $ \tilde{f} $ e $ \tilde{g} $ são, de fato, levantamentos de $ f $ e $ g $, respectivamente. Portanto, resta mostrar que $ \tilde{H} $ é uma homotopia de caminhos, ou seja, mostrar que $ \tilde{H}(0,\cdot) $ e $ \tilde{H}(1,\cdot) $ são constantes.

Verificamos o caso de $ \tilde{H}(0,\cdot) $, pois para $ \tilde{H}(1,\cdot) $ o argumento é análogo. O conjunto $ C = \{0\} \times [0,1] $ é conexo e tal que $ H[C] $ é unitário em $ X $, por hipótese, logo existe $ A \supset H[C] $ como na definição de espaço de recobrimento. Pelo lema 1, $ \tilde{H}[C] \subset A_{i} $ para algum $ i $, mas veja que $ p[\tilde{H}[C]] = H[C] = \{H(0,0)\} $ e que $ p $ é injetora no conjunto $ A_{i} $. Logo $ \tilde{H}[C] $ também é unitário e $ \tilde{H}(0,\cdot) $ é uma função constante. $\square$