Exercício 2.3.6. Seja $(X,\tau)$ espaço topológico separável. Se existe $D \subset X$ discreto fechado tal que $|D|=\mathfrak{c}$ (cardinalidade do contínuo), então $(X,\tau)$ não é $T_4$

Vamos começar supondo por absurdo que $(X,\tau)$ é $T_4$, assim por $D$ ser fechado e discreto, todos os seus subconjunto são fechados nele mesmo e em $X$, tomando agora $F \subset D$ qualquer, temos que $F$ e $D \setminus F$ são disjuntos fechados em $X$:

• Vamos aplicar o Teorema de Tietze, assim para cada subconjunto $F \subset D$, existe ao menos uma extensão contínua $f_F : X \rightarrow \mathbb{R}$, de maneira que ao aplicarmos o Lema de Urysohn, podemos reconfigurar $f_F$ da seguinte maneira

$$f_F : X \rightarrow [0,1] \text{ tal que } f_F(F)=\{0\} \text{ e } f_F(D\setminus F)=\{1\}$$

• Assim para cada $F \neq G$ tal que $F,G \subset D$ $f_F \neq f_G$, assim teremos um número de funções contínuas maior ou igual que $|\wp(D)|=\mathfrak{c}$, já que para um $F$ existe ao menos uma função
• Pelo enunciado $(X,\tau)$ é separável, portanto, existe $K \subset X$ denso e enumrável, dessa maneira existem $|\wp(\mathbb{N})|=|\mathbb{R}|$ funções de $K$ em $\mathbb{R}$
• Já que $K \subset X$ e por “Duas funções que coincidem em um denso são iguais?” para cada função $h : K \rightarrow \mathbb{R}$ existe no máximo uma função contínua tal que $g: X \rightarrow \mathbb{R}$, assim já que $K$ é denso, para todo $k \in K$, $f(k)=g(k)$, assim existem $|\mathbb{R}|$ funções de $X$ em $\mathbb{R}$, porém existem $|\wp(\mathbb{R})|$ funções de $D$ em $\mathbb{R}$, o que é uma contradição, com isso $(X,\tau)$ não é $T_4$. $\square$