Seja ($X, \tau)$ um espaço de Baire, e seja $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma familia de abertos densos em $X$. Mostre que $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n$ é um espaço de Baire.

Demonstração. Seja $(B_m)_{m\in\mathbb{N}}$ uma família de conjuntos abertos densos em $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n$ com a topologia de subespaço. Seja $V$ um conjunto aberto não vazio em $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n$. Logo, $V = U \cap \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n$, for some $U \in \tau$. Então, basta mostrar $$V\cap \bigcap_{m\in\mathbb{N}} B_m \neq \varnothing.$$ Observe que $B_m$ é denso em $X$ para todo $m\in \mathbb{N}$ por exercício 1.3.34. E para cada $m\in\mathbb{N}$, temos $B_m = U_m\cap \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n$, onde $U_m\in\tau$. Como $U_m, A_m$ são abertos em $X$ e $B_m\subset A_m\cap U_m$ para cada natural $m$, então por densidade de $B_m \in X$, temos que $(A_m\cap U_m)$ é uma família enumerável de conjuntos densos abertos em $X$. Portanto, graças ao fato de que $X$ é um espaço de Baire, temos que $$V\cap \bigcap_{m\in\mathbb{N}} B_m = V\cap \bigcap_{m\in\mathbb{N}} [U_m\cap\bigcap_{n\in\mathbb{N}} (A_n)] = V\cap \bigcap_{m\in\mathbb{N}}(U_m\cap A_m)=U\cap \bigcap_{m\in\mathbb{N}}(U_m\cap A_m)\neq\varnothing$$.