Solução: a) Dados $x,y\in \mathbb{R}$, considere o homeomorfismo $$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ $$t\mapsto t+y-x$$ Claramente $f$ é bijeção contínua e $f^{-1}$ dada por $f^{-1}(t)=t+x-y$ também é contínua. $_{\blacksquare}$

b) A menos de conjugação por homeomorfismos, podemos supor $]a,b[=]0,1[$ (caso contrário, considere o homeomorfismo natural $t\mapsto (b-a)t+a$ de $]0,1[$ em $]a,b[$). Dados $x,y\in ]0,1[$,defina $$f:]0,1[\rightarrow ]0,1[$$ $$t\mapsto \begin{cases} \frac{y}{x}t,\ 0<t\le x\\ \frac{1-y}{1-x}(t-x)+y,\ x<t<1\end{cases}$$ Note que $f$ é contínua, pois é linear por partes e $\lim_{t\to x^-}f(t)=\lim_{t\to x^+} f(t)=y$; além disso, é estritamente crescente e $f(0)=0,\ f(1)=1$ e portanto é bijetora. Também, $f^{-1}$ dada por $$f^{-1}(t)=\begin{cases} \frac{x}{y}t,\ 0<t\le y\\ \frac{1-x}{1-y}(t-y)+x,\ y<t<1\end{cases}$$ é contínua, já que é linear por partes e $\lim_{t\to y^-}f^{-1}(t)=\lim_{t\to y^+} f^{-1}(t)=x$. $_{\blacksquare}$

c) Suponha $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$ e considere um homeomorfismo $f:\mathbb{N}\cup \{\infty\}\rightarrow \mathbb{N}\cup \{\infty\}$ com $f(\infty)=1$. Temos $\{1\}$ aberto e $f^{-1}(\{1\})=\{\infty\}$ não aberto, pois $\{\infty\}^c$ é infinito, chegando a um absurdo, pois em particular $f$ é contínua. Logo $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$ não é homogêneo. $_{\blacksquare}$

* Caracterização por sequências