Todo espaço Haussdorff paracompacto é coletivamente normal (Exercício 7.6.17 e 7.6.18)
Primeiramente vejamos algumas definições preliminares.
Definição 1
Considere $(X,\tau)$ espaço topológico. Dizemoa que uma família $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é localmente finita se, para todo $x\in X,$ existe $V$ aberto tal que $x\in V$ e $\{F\in \mathcal{F};~V\cap F\not= \emptyset \}$ é finito.
Definição 2
Dada uma cobertura $\mathcal{C}$ para um espaço topológico $(X,\tau)$. Dizemos que $\mathcal{F}$ é um refinamento para $\mathcal{C}$ se $\mathcal{F}$ também é uma cobertura e para todo $F\in \mathcal{F}$, existe $C\in \mathcal{C}$ tal que $F\subset C.$
Definição 3
Um espaço é dito paracompacto se toda cobertura aberta admite refinamento aberto localmente finito.
Definição 4
Dizemos que $\mathcal{F}$ é uma família discreta, para todo $x\in X,$ existe $V$ aberto contendo $x$ que intersecta no máximo um $F\in \mathcal{F}.$
Definição 5
Dizemos que $(X,\tau)$ é coletivamente normal se $X$ é $T_1$ e para toda família discreta $\{F_i;i\in I\}$ de fechados, existe uma família de abertos $\{V_i;i\in I\}$ dois a dois disjuntos tal que $F_i\subset V_i$ para todo $i\in I.$
De fato, todo espaço coletivamente normal é normal, já que é $T_1$ e uma família de dois conjuntos fechados disjuntos é obviamente uma família discreta, portanto é $T_4$. Sabemos que todo espaço Haussdorff paracompacto é normal pela [proposição], mas podemos melhorar ainda mais esssa afirmação.
Proposição
Todo espaço de Haussdorff paracompacto é coletivamente normal.
Demonstração. Seja $\{F_i\}_{i\in I}$ família discreta de fechados então é localmente fechada, então
$$\bigcup_{i\in I}F_i=\bigcup_{i\in I}\overline{F_i}=\overline{\bigcup_{i\in I}F_i}$$ é fechado. Mais ainda, fixando um $j\in I,$ então $D_j=\cup_{i\not= j}F_i$ também é fechado. Para cada $x\in F_j$, suponha $V_x$ aberto contendo $x$ que intersecta somente $F_j.$ É claro que podemos pegar $U_x$ aberto contendo $D_j$ de maneira que $U_x\cap V_x= \emptyset,$ pois todo espaço paracompacto Haussdorff é normal.
Note que $\{V_x\}_{x\in F_j}\cup \{X\backslash F_j\}$ é uma cobertura aberta para $X$. Logo existe um refinamento aberto localmente finito, e olhando apenas para $F_j$ podemos tomar um refinamento aberto finito para $\{V_x\}_{x\in F_j}:$
$$\{W_s\}_{s\in S}.$$ Como $W_s\subset V_x$ para algum $x,$ então temos que $\overline{W_s}\cap D_j=\emptyset.$ Considere $V_j=\cup_{s\in S}W_s,$ então $F_j\subset V_j.$ Mas novamente, $V_j'=\cup_{s\in S} \overline{W_s}$ é fechado. Desde que $D_j\subset X\backslash V_j'$, façamos $U_j=X\backslash V_j'.$ Portanto temos um aberto $V_j$ contendo $F_j$ e um aberto $U_j$ contendo $D_j$.
Como $\{F_i\}_{i\not=j}$ é uma família discreta no espaço $X\backslash V_j$, podemos fazer esse processo novamente, e teremos um aberto $V_k$ contendo um $F_k\in \{F_i\}_{i \not= j}$ e um aberto $U_k$ contendo $D_{k}=\cup_{i\not= j,k}F_i.$ E assim indutivamente, teremos abertos $V_i$ dois a dois disjuntos contendo cada $F_i$. $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\square$