Teorema. $\pi_1(S^1,(1,0))$ é isomorfo ao grupo $(\mathbb{Z},+)$ e é gerado por $[\omega]=[\omega_1]$, onde $\omega_z(t)=(\cos(2 \pi zt),\sin(2\pi z t))$, para cada $z \in \mathbb{Z}$.

Demonstração. Vejamos que cada laço em $(1,0)$ é homotópico a algum $\omega_z$ e que $\omega_z$ e $\omega_s$ não são homotópicos quando $z \neq s$. Neste caso, o resultado segue se definirmos $\varphi: \pi_1(S^1, x_0) \to \mathbb{Z}$ por $\varphi(f)=z$, onde $z$ é o único tal que $[f]=[\omega_z]$. É importante perceber que tal aplicação é um homomorfismo em virtude do Lema. Seja $f:[0,1] \to \mathbb{S}^1$ um laço em $x_0$. Seja $\tilde{f}:[0,1] \to \mathbb{R}$ um levantamento para $f$ com $\tilde{f}(0)=0$ (cf). Observe que $\tilde{f}(1)=z \in \mathbb{Z}$, pois $p^{-1}[(1,0)]= \mathbb{Z}$, onde $p: \mathbb{R} \to S^1$ é dada por $p(t)=(\cos(2\pi t), \sin(2 \pi t))$ (é fácil ver que $\mathbb{R}$ e $p$ formam um espaço de recobrimento para $S^1$). Assim, note que $\tilde{f}$ é homotópica a $ \tilde{\omega}_z$ via $\tilde{H}(s,t)=(1-t) \tilde{f}(s)+ t \tilde{\omega}_z(s)$. Aplicando $p$ a esta homotopia, obtemos que $[f]=[\omega_z]$. Por fim, suponha que $[\omega_z]=[\omega_s]$. Seja $F:[0,1] \times [0,1] \to S^1$ homotopia entre $\omega_z$ e $\omega_s$. Então, existe $\tilde{F} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}$ levantamento para $F$ tal que $\tilde{F}(0,0)=0$ (cf). Sendo assim, $\tilde{F}(.,0)$ é um levantamento para $\omega_s$ e $ \tilde{F}(.,1)$ é um levantamento para $\omega_z$. Pela unicidade, segue que $\tilde{F}(.,0)=\tilde{\omega}_z$ e $\tilde{F}(.,1)= \tilde{\omega}_s$. Finalmente, temos que $\tilde{F}$ é levantamento de caminhos, logo $F(1,.)$ é constante. Assim $$z=\tilde{\omega_z}(1)=\tilde{F}(1,0)=\tilde{F}(1,1)=\tilde{\omega}_s(1)=s.$$