Grupo fundamental da circunferência
Calcular o grupo fundamental de um espaço, em geral, não é uma tarefa simples. A partir de resultados estabelecidos anteriormente (cf), será possível calcular o grupo fundamental de $S^1=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 =1 \rbrace$.
Lema
Dado $z \in \mathbb{Z}$, consideremos $\omega_{z}(t)=(cos(2\pi zt), \sin(2\pi zt))$. Então, $\omega_a * \omega_{b} \simeq \omega_{a+b}$, quaisquer que sejam $a,b \in \mathbb{Z}$. Demonstração
O lema acima verifica que sobre os laços da forma $\omega_z$, $z \in \mathbb{Z}$, a concatenação $*$ é compatível com a soma em $\mathbb{Z}$.
Teorema
$\pi_1(S^1,(1,0))$ é isomorfo ao grupo $(\mathbb{Z},+)$ e é gerado por $[\omega]=[\omega_1]$, onde $\omega_z(t)=(\cos(2 \pi zt),\sin(2\pi z t))$, para cada $z \in \mathbb{Z}$. Demonstração
- Em geral, espaços que são contráteis são necessáriamente conexos por caminhos. No entanto, como o grupo fundamental da circunferência não é trivial, então $S^1$ não é contrátil, mesmo que seja conexa por caminhos.
- Como os espaços $\mathbb{R}^2 \backslash\{(0,0)\}$ e $S^1$ são homotopicamente equivalentes, então o grupo fundamental de $\mathbb{R}^2 \backslash\{(0,0)\}$ também é isomorfo à $\mathbb{Z}$. Portanto podemos repetir o argumento acima para $\mathbb{R}^2 \backslash\{(0,0)\}$, garantindo que tal espaço não é contrátil.