“Suppose that you are standing on a geometrical object (say on the Pampas). You toss a lasso and try to shrink it to a single point at your feet (the lasso must stay on dry ground). If there is no pool of water on this grassland the lasso will smoothly converge at your feet. Imagine, however, that there is a pool of water which your lasso is enclosing (We assume that the interior of the pool does not belong to our geometrical object). In this case you cannot bring the lasso to a single point without getting it wet. The fundamental group or the first homotopy group of the Pampas measures the degree of the possibility in shrinking the lasso to a point. On the other hand the second homotopy group of a geometrical object measures the degree to which one can shrink a large piece of cloth, spread out with its border being gathered at a single point, to that point while keeping the cloth always in the object.”

Este é um trecho retirado do livro Algebraic Topology: An Intuitive Approach do autor Halime Sato.

Proposição: A relação $\simeq _{x_{0}}$ é uma relação de equivalência.

Roteiro de Demonstração: É preciso mostrar que $\simeq _{x_{0}}$ é:

• $\simeq _{x_{0}}$ é reflexiva:
• $\simeq _{x_{0}}$ é simétrica:
• $\simeq _{x_{0}}$ é transitiva:

Proposição: Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $x_{0} \in X$. Definimos $*: \pi_{1}(X, x_{0}) \times \pi_{1} (X, x_{0}) \rightarrow \pi_{1}(X, x_{0})$ por $[f] *[g]=[f * g]$.

Roteiro de Demonstração: Primeiramente, é necessário verificar que tal operação está bem definida. Então, basta mostrar que se $f_{1} \simeq _{x_{0}} f$ e $g_{1} \simeq _{x_{0}} g_{2}$, então $(f_{1} * g_{1}) \simeq _{x_{0}}(f_{2} * g_{2})$

Proposição: Sejam $f:[0,1] \rightarrow X$ e $g:[0,1] \rightarrow X$ dois laços no ponto $x_{0}$. Sejam $a, b \in \ ] \ 0,1\left[\right.$. Então $f *_{a} g \simeq_{x_{0}} f *_{b} g$.

Roteiro de Demonstração: Mostre que $f * g \simeq f *_{a} g$ para todo $a \in \ ] \ 0,1[$. Depois, dado $t \in[0,1]$, defina $$H_{t}=f *_{(at+(1-t) \frac{1}{2})}g$$ Note que $H_{t}:[0,1] \rightarrow X$. Agora, ao definir $H(s, t)=H_{t}(s)$ temos a homotopia desejada, pois ao escrever explicitamente é possível observar que é contínua.

Proposição: Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $x_{0} \in X$. Então $(\pi_{1}(X, x_{0}),*))$ é um grupo.

Roteiro de Demonstração: Para isso, é preciso mostrar:

• Associatividade: Defina $f *_{a} g *_{b} h$ de forma que no intervalo $[0, a$ [ seja percorrido o caminho indicado por $f$, em $[a, b[$ seja percorrido o caminho indicado por $g$ e, finalmente, no intervalo $[b, 1[$ seja percorrido o caminho indicado por $h$. De maneira análoga, dados $0<a<b<1$ e $0<\alpha<\beta<1, f *_{a} g *_{b} h \simeq_{x_{0}} f *_{\alpha} *_{\beta} h$. Para finalizar, basta mostrar que $f *(g * h)=f *_{\frac{1}{2}} g *_{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}} h$ e que $(f * g) * h=$ $f *_{\frac{1}{4}} g *_{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} h$.

• Elemento neutro: Primeiramente, considere $e$ o laço constante igual a $x_{0}$. Mostre que $[e]$ é o elemento neutro mostrando que $f * e \simeq_{x_{0}} f \simeq_{x_{0}}$ $e * f$. Para o primeiro caso, temos

$$ H(x, t)=\left\{\begin{array}{cl} f\left(\frac{2 x}{2-x}\right), & \text { se } \ 0 \leq t \leq \frac{2-x}{2} \\ x_{0}, & \text { se } \ \frac{2-x}{2}<t\leq1 \end{array}\right. $$

• Elemento inverso: Começe considerando o $f$ laço em $x_{0}$ e depois $f^{-}$ dada por $f^{-}(x)=f(1-x)$. Agora, defina $[f]^{-}=\left[f^{-}\right]$. Se mostrarmos que $f * f^{-} \simeq_{x_{0}} e \simeq_{x_{0}} f^{-} * f$, seguirá que $[f]^{-}$está bem definido. Para o primeiro caso, temos

$$ H(x, t)=\left\{\begin{array}{cc} f(t), & \text { se } 0 \leq t \leq \frac{1-x}{2} \\ f^{-}(t+x), & \text { se } \frac{1-x}{2} \leq t \leq 1-x \\ x_{0}, & \text { se } 1-x \leq t \leq 1 \end{array}\right. $$

Proposição: Toda $f:\left(X, x_{0}\right) \rightarrow\left(Y, y_{0}\right)$ contínua induz um homomorfismo $f^{\sharp}: \pi_{1}\left(X, x_{0}\right) \rightarrow \pi_{1}\left(Y, y_{0}\right)$.

Roteiro de Demonstração: Comece definindo $\left(f^{\prime}(g)\right)(t)=f(g(t))$ para cada laço $g$ sobre $x_{0}$. Na sequência, mostre que $f^{\prime}(g)$ é um laço sobre $y_{0}$. Agora, defina $f^{\sharp}: \pi_{1}\left(X, x_{0}\right) \rightarrow \pi_{1}\left(Y, y_{0}\right)$ como $f^{\sharp}([g])=\left[f^{\prime}(g)\right]$ e mostre que $f^{\sharp}$ está bem definida. Por fim, mostre que $f^{\sharp}([g] *[h])=f^{\sharp}([g]) * f^{\sharp}([h])$, com $$ f^{\prime}(g * h)=\left\{\begin{array}{cl} f(g(2 x))=\left(f^{\prime}(g)\right)(2 x), & \text { se } 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ f(h(2 x-1))=\left(f^{\prime}(h)\right)(2 x-1), & \text { se } \frac{1}{2}<x \leq 1 \end{array}=f^{\prime}(g) * f^{\prime}(h)\right. $$

Proposição: $(I d_{X})^{\sharp}=I d_{\pi_{1}(X, x_{0})}$.

Roteiro de Demonstração: Para essa demonstração, basta manipular as definições

Proposição: Se $f, g:(X, x_{0}) \rightarrow(Y, y_{0})$ são tais que $f \simeq g$ com relação a $\{x_{0}\}$, então $f^{\sharp}=g^{\sharp}$.

Roteiro de Demonstração: Tome $h$ laço sobre $x_{0}$ e mostre que $f^{\prime}(h) \simeq_{x_{0}} g^{\prime}(h)$.

Proposição: Se $f:(X, x_{0}) \rightarrow(Y, y_{0})$ e $g:(Y, y_{0}) \rightarrow(Z, z_{0})$, então $(g \circ f)^{\sharp}=g^{\sharp} \circ f^{\sharp}$.

Roteiro de Demonstração: Tome $h$ laço sobre $x_{0}$. Dado $t \in[0,1]$, verifique que $((g \circ f)^{\prime}(h))(t)=(g \ \circ $ $f)(h(t))=g^{\prime}(f(h(t)))=((g^{\prime} \circ f^{\prime}) h)(t)$.

Proposição: Se $\left(X, x_{0}\right) e\left(Y, y_{0}\right)$ são homotopicamente equivalentes, então $\pi_{1}(X, x_{0})$ e $\pi_{1}(Y, y_{0})$ são isomorfos.

Roteiro de Demonstração: Sejam $f:(X, x_{0}) \rightarrow(Y, y_{0})$ e $g:(Y, y_{0}) \rightarrow(X, x_{0})$ contínuas tais que $f \circ g \simeq I d_{Y}$ relativamente a $y_{0}$ e $g \circ f \simeq I d_{X}$ relativamente a $x_{0}$. Assim, $(g \circ f)^{\sharp}=I d_{\pi_{1}(X, x_{0})}$ e $(f \circ g)^{\sharp}=I d_{\pi_{1}(Y, y_{0})}, \operatorname{mas}(g \circ f)^{\sharp}=g^{\sharp} \circ f^{\sharp} \mathrm{e}$ $(f \circ g)^{\sharp}=f^{\sharp} \circ g^{\sharp}$. Logo, $f^{\sharp}$ e $g^{\sharp}$ são isomorfismos.

• Exercício: Mostre que se $X$ é contrátil para a função constante igual a $x_{0} \in X$ e a homotopia preserva o ponto $x_{0}$, então o grupo fundamental de $X$ sobre o ponto $x_{0}$ é trivial.

• Exercício: Seja $X=\mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$. Mostre que $\pi_{1}(X,(1,0))$ e $\pi_{1}(S^{1},(1,0))$ são isomorfos.

• Exercício: Seja $X$ conexo por caminhos. Sejam $x_{0}, x_{1} \in X$. Mostre que $\pi_{1}(X, x_{0})$ é isomorfo a $\pi_{1}(X, x_{1})$.