Funções contínuas
Definição
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y,\rho)$ espaços topológicos y seja $f:X\rightarrow Y$ uma função. Seja $x\in X$. Dizemos que $f$ é uma função contínua no ponto $x$ se, para toda vizinhança $A$ de $f(x)$ existe uma vizinhança $B$ de $x$ tal que $f[B]\subset A$.
Também temos uma definição para funções contínua de manera global.
Definição
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y,\rho)$ espaços topológicos y seja $f:X\rightarrow Y$ uma função. Dizemos que $f$ é uma função contínua se, para todo aberto $A$ de $Y$, temos que $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$. Quer dizer $\forall A \in \rho$ então $f^{-1}[A] \in \tau$.
Os conceitos apresentados são versões globais e locais da mesma coisa: Sejam $(X, \tau)$ e $(Y,\rho)$ espaços topológicos y seja $f:X\rightarrow Y$ uma função. Entonces $f$ é contínua se, e somente se,para todo $x\in X$, $f$ é continua no ponto $x$. Demonstração
Exemplos
- Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Então a função $I:X\rightarrow X$ dad por $I(x)=x$ para todo $x\in X$(função identidade) é contínua. A prova e trivial.
- Qualquer função constante é contínua. Demonstração
- Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se A é aberto fechado em X. Então a função característica de A é contínua.Demonstração
Proposição
Sejam $(X_1,\tau_1)$, $(X_2,\tau_2)$ y $(X_3,\tau_3)$ espaços topológicos e sejam $g:X_1\rightarrow X_2$ y $g:X_2\rightarrow X_3$ funções contínuas. Então, $f\circ g:X_1\rightarrow X_3$ é contínua.Demonstração